Dados os programas lineares abaixo, coloque-os na forma canônica
\begin{array}{cc}
\text { Minimizar } & c^{T} x \\\ \text { sujeito a } & A x \leq b \\\ & x \geq 0
\end{array}
Em cada caso, após colocá-los nesse formato, identifique o vetor de custos c, a matriz de restrição A, o vetor das variáveis decisórias e o vetor de requerimentos mínimos b.
Minimizar \quad 4 x_{1}-5 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}+7 x_{5}
sujeito a \quad x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5 x_{5} \leq 2
Condição sobre as variáveis: \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\ge 0.
O que se pede:
Colocar o problema na forma canônica \min c^{T}x sujeito a Ax\le b,\;x\ge0.
Identificar explicitamente os vetores/matriz c, A, x e b.
Passo 2
Entendendo a forma canônica e as operações permitidas (explicação didática curta e prática).
A forma canônica exige que todas as restrições estejam escritas como desigualdades do tipo \le com o lado direito numérico (vetor b), e que todas as variáveis tenham limite inferior zero.
Se uma restrição aparece como \ge, basta multiplicá‑la por -1 para transformá‑la em uma \le. Isso inverte os sinais de todos os coeficientes da restrição e também do lado direito.
As variáveis já são não negativas, então não é preciso fazer mudança de variáveis.
Aplicando essas operações nas restrições dadas:
Restrição 1 já está no formato \le:x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5x_{5}\le 2.
Restrição 2 é \ge. Multiplicando por -1:-2x_{1}-9x_{2}+x_{4}\le -7.
Restrição 3 é \ge. Multiplicando por -1:-5x_{2}+3x_{5}\le -1.
Restrição 4 já é \le:4x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}\le 9.
Agora todas as restrições estão no formato \le, prontas para colocar em forma matricial Ax\le b.
Passo 3
Construindo o vetor de custos c (explicação).
O vetor c reúne os coeficientes da função objetivo na ordem das variáveis (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}).
Não é necessário alterar sinais por causa da minimização; a forma canônica admite coeficientes positivos ou negativos.
Portanto
c = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]6\\[4pt]-1\\[4pt]7\end{pmatrix}.]
Passo 4
Montando a matriz A e o vetor b (passo a passo e com explicação de alinhamento).
Cada linha de A corresponde a uma restrição (na mesma ordem que foram apresentadas).
Cada coluna de A corresponde a uma variável, na ordem (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}).
O vetor b contém os termos do lado direito de cada desigualdade (os números após o sinal \le), na mesma ordem.
Pegando as restrições transformadas do Passo 2:
\;x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5x_{5}\le 2 → coeficientes: [1,\,-1,\,1,\,-1,\,-5], termo direito 2.
\;-2x_{1}-9x_{2}+0x_{3}+x_{4}+0x_{5}\le -7 → coeficientes: [-2,\,-9,\,0,\,1,\,0], termo direito -7.
\;0x_{1}-5x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+3x_{5}\le -1 → coeficientes: [0,\,-5,\,0,\,0,\,3], termo direito -1.
\;4x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}+0x_{5}\le 9 → coeficientes: [4,\,1,\,-4,\,1,\,0], termo direito 9.