Dados os programas lineares abaixo, coloque-os na forma canônica
\begin{array}{cc} \text { Minimizar } & c^{T} x \\\ \text { sujeito a } & A x \leq b \\\ & x \geq 0 \end{array}
Em cada caso, após colocá-los nesse formato, identifique o vetor de custos c, a matriz de restrição A, o vetor das variáveis decisórias e o vetor de requerimentos mínimos b.
Minimizar \quad 4 x_{1}-5 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}+7 x_{5}
sujeito a \quad x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5 x_{5} \leq 2
\begin{gathered} 2 x_{1}+9 x_{2}-x_{4} \geq 7 \\\\ 5 x_{2}-3 x_{5} \geq 1 \\\\ 4 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4} \leq 9 \\\ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} \geq 0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá um problema de programação linear com 5 variáveis e pede para colocá‑lo na forma canônica
\text{Minimizar}\quad c^{T}x\quad\text{sujeito a}\quad A x \le b,\quad x\ge 0.
As informações fornecidas (pegue isto do enunciado):
  • Função objetivo: \;4x_{1}-5x_{2}+6x_{3}-x_{4}+7x_{5}.
  • Restrições:
    1. \;x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5x_{5}\le 2.
    2. \;2x_{1}+9x_{2}-x_{4}\ge 7.
    3. \;5x_{2}-3x_{5}\ge 1.
    4. \;4x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}\le 9.
  • Condição sobre as variáveis: \;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\ge 0.
O que se pede:
  • Colocar o problema na forma canônica \min c^{T}x sujeito a Ax\le b,\;x\ge0.
  • Identificar explicitamente os vetores/matriz c, A, x e b.

Passo 2

Entendendo a forma canônica e as operações permitidas (explicação didática curta e prática).
  • A forma canônica exige que todas as restrições estejam escritas como desigualdades do tipo \le com o lado direito numérico (vetor b), e que todas as variáveis tenham limite inferior zero.
  • Se uma restrição aparece como \ge, basta multiplicá‑la por -1 para transformá‑la em uma \le. Isso inverte os sinais de todos os coeficientes da restrição e também do lado direito.
  • As variáveis já são não negativas, então não é preciso fazer mudança de variáveis.
Aplicando essas operações nas restrições dadas:
  • Restrição 1 já está no formato \le: x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5x_{5}\le 2.
  • Restrição 2 é \ge. Multiplicando por -1: -2x_{1}-9x_{2}+x_{4}\le -7.
  • Restrição 3 é \ge. Multiplicando por -1: -5x_{2}+3x_{5}\le -1.
  • Restrição 4 já é \le: 4x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}\le 9.
Agora todas as restrições estão no formato \le, prontas para colocar em forma matricial Ax\le b.

Passo 3

Construindo o vetor de custos c (explicação).
  • O vetor c reúne os coeficientes da função objetivo na ordem das variáveis (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}).
  • Não é necessário alterar sinais por causa da minimização; a forma canônica admite coeficientes positivos ou negativos.
Portanto
c = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]6\\[4pt]-1\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Montando a matriz A e o vetor b (passo a passo e com explicação de alinhamento).
  • Cada linha de A corresponde a uma restrição (na mesma ordem que foram apresentadas).
  • Cada coluna de A corresponde a uma variável, na ordem (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}).
  • O vetor b contém os termos do lado direito de cada desigualdade (os números após o sinal \le), na mesma ordem.
Pegando as restrições transformadas do Passo 2:
  1. \;x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}-5x_{5}\le 2 → coeficientes: [1,\,-1,\,1,\,-1,\,-5], termo direito 2.
  2. \;-2x_{1}-9x_{2}+0x_{3}+x_{4}+0x_{5}\le -7 → coeficientes: [-2,\,-9,\,0,\,1,\,0], termo direito -7.
  3. \;0x_{1}-5x_{2}+0x_{3}+0x_{4}+3x_{5}\le -1 → coeficientes: [0,\,-5,\,0,\,0,\,3], termo direito -1.
  4. \;4x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}+0x_{5}\le 9 → coeficientes: [4,\,1,\,-4,\,1,\,0], termo direito 9.
Assim a matriz A e o vetor b são:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & -5\\[4pt] -2 & -9 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 4 & 1 & -4 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-7\\[4pt]-1\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 5

Identificando o vetor de variáveis decisórias x e verificando a forma final.
  • O vetor de variáveis (decisórias) é
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\\[4pt]x_{5}\end{pmatrix},
com a condição \;x\ge 0 (isto é, cada x_{i}\ge 0, já dada no enunciado).
Resumo da forma canônica alcançada:
\text{Minimizar}\quad c^{T}x\quad\text{sujeito a}\quad A x \le b,\quad x\ge 0,
com c, A, b e x definidos nos passos anteriores.]

Resposta

c=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-5\\[4pt]6\\[4pt]-1\\[4pt]7\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & -5\\[4pt] -2 & -9 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 4 & 1 & -4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\\[4pt]x_{5}\end{pmatrix},\qquad x_{i}\ge 0
b=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-7\\[4pt]-1\\[4pt]9\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados