Dados quaisquer a, b reais, escreva as fórmulas para sin (a+b), sin (a-b), cos (a+b) e cos (a-b). Use as fórmulas e a tabela dos valores do exercício 8 para calcular: sin (75^circ), cos (75^circ), cos (15^circ) e sin (15^circ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever as fórmulas de seno e cosseno para a soma e a diferença de dois ângulos, e depois usar essas fórmulas para calcular valores específicos de seno e cosseno, como sin(75^circ) , cos(75^circ) , sin(15^circ) e cos(15^circ) . Para isso, vamos precisar entender as fórmulas de adição e subtração dos senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as fórmulas que relacionam o seno e o cosseno da soma e da diferença de dois ângulos a e b .
Para o seno da soma:
sin(a + b) = sin a cdot cos b + cos a cdot sin b
Para o seno da diferença:
sin(a - b) = sin a cdot cos b - cos a cdot sin b
Para o cosseno da soma:
cos(a + b) = cos a cdot cos b - sin a cdot sin b
Para o cosseno da diferença:
cos(a - b) = cos a cdot cos b + sin a cdot sin b

Passo 3

Agora, vamos usar essas fórmulas para calcular os valores de sin(75^circ) , cos(75^circ) , sin(15^circ) e cos(15^circ) .
Primeiro, vamos decompor esses ângulos em somas ou diferenças de ângulos cujos senos e cossenos já conhecemos. Vamos usar 45^circ e 30^circ , já que 45^circ + 30^circ = 75^circ e 45^circ - 30^circ = 15^circ .

Passo 4

Vamos calcular sin(75^circ) usando a fórmula do seno da soma:
sin(75^circ) = sin(45^circ + 30^circ) = sin45^circ cdot cos30^circ + cos45^circ cdot sin30^circ
Sabemos que:
sin45^circ = raiz22, cos45^circ = raiz22
sin30^circ = 12, cos30^circ = raiz32
Substituindo:
sin(75^circ) = (raiz22) cdot (raiz32) + (raiz22) cdot (12) = raiz64 + raiz24 = raiz6 + raiz24

Passo 5

Agora, vamos calcular cos(75^circ) usando a fórmula do cosseno da soma:
cos(75^circ) = cos(45^circ + 30^circ) = cos45^circ cdot cos30^circ - sin45^circ cdot sin30^circ
Substituindo os valores conhecidos:
cos(75^circ) = (raiz22) cdot (raiz32) - (raiz22) cdot (12) = raiz64 - raiz24 = raiz6 - raiz24

Passo 6

Vamos agora calcular sin(15^circ) usando a fórmula do seno da diferença:
sin(15^circ) = sin(45^circ - 30^circ) = sin45^circ cdot cos30^circ - cos45^circ cdot sin30^circ
Substituindo os valores:
sin(15^circ) = (raiz22) cdot (raiz32) - (raiz22) cdot (12) = raiz64 - raiz24 = raiz6 - raiz24

Passo 7

Por fim, vamos calcular cos(15^circ) usando a fórmula do cosseno da diferença:
cos(15^circ) = cos(45^circ - 30^circ) = cos45^circ cdot cos30^circ + sin45^circ cdot sin30^circ
Substituindo os valores conhecidos:
cos(15^circ) = (raiz22) cdot (raiz32) + (raiz22) cdot (12) = raiz64 + raiz24 = raiz6 + raiz24

Resposta

sin(75^circ) = raiz6 + raiz24, cos(75^circ) = raiz6 - raiz24, sin(15^circ) = raiz6 - raiz24, cos(15^circ) = raiz6 + raiz24

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