Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
. Esse é um caso de função exponencial com taxa de decaimento. Para traçar o gráfico, vamos determinar domínio, interceptos, comportamento em
, monotonicidade e assíntotas.
Passo 2
Domínio e positividade
A função exponencial está definida para todo , ou seja,
A função exponencial está definida para todo
Além disso, como
para qualquer
, o gráfico fica sempre acima do eixo
.
Passo 3
Interceptos
Para temos
Para
logo o gráfico passa pelo ponto
. Não há intercepto em
porque
para nenhum
.
Passo 4
Limites e assíntota horizontal
À medida que ,
À medida que
portanto há uma assíntota horizontal em
.
À medida que ,
À medida que
ou seja, o gráfico sobe sem limite para a esquerda.
Passo 5
Monotonicidade e concavidade
A derivada é
A derivada é
então a função é estritamente decrescente. A segunda derivada é
portanto o gráfico é côncavo para cima em toda parte.
Passo 6
Esboço final
- Trace os eixos
e . - Marque o ponto
. - Desenhe uma curva que, para
, sobe para , passa em e, para , aproxima-se de sem tocar. - Acrescente a linha pontilhada
como assíntota horizontal.
Resposta
O gráfico de
é uma curva estritamente decrescente acima do eixo
, passando por
, com assíntota horizontal em
, subindo para
à esquerda e aproximando-se de zero à direita.