Esboce o gráfico da função y=e^-x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função y = e^-x. Esse é um caso de função exponencial com taxa de decaimento. Para traçar o gráfico, vamos determinar domínio, interceptos, comportamento em pminfty, monotonicidade e assíntotas.

Passo 2

Domínio e positividade
A função exponencial está definida para todo xinR, ou seja,
Domínio = (-infty,infty) í
Além disso, como e^-x>0 para qualquer x, o gráfico fica sempre acima do eixo x.

Passo 3

Interceptos
Para x=0 temos
y = e^0=1,
logo o gráfico passa pelo ponto (0,1). Não há intercepto em y=0 porque e^-xneq0 para nenhum x.

Passo 4

Limites e assíntota horizontal
À medida que xto+infty,
e^-xto0^+,
portanto há uma assíntota horizontal em y=0.
À medida que xto-infty,
e^-xto+infty,
ou seja, o gráfico sobe sem limite para a esquerda.

Passo 5

Monotonicidade e concavidade
A derivada é
y' = -e^-x<0forall x,
então a função é estritamente decrescente. A segunda derivada é
y'' = e^-x>0,
portanto o gráfico é côncavo para cima em toda parte.

Passo 6

Esboço final
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,1).
  3. Desenhe uma curva que, para xto-infty, sobe para +infty, passa em (0,1) e, para xto+infty, aproxima-se de y=0 sem tocar.
  4. Acrescente a linha pontilhada y=0 como assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico de y=e^-x é uma curva estritamente decrescente acima do eixo x, passando por (0,1), com assíntota horizontal em y=0, subindo para +infty à esquerda e aproximando-se de zero à direita.

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