Dados a reta
e os pontos
, ache
ponto de
equidistante de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a reta
e os pontos
e
. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que pedem:
- Reta
: , onde é o parâmetro real. - Ponto
: . - Ponto
: .
O que se pede: encontrar o pontopertencente a que está à mesma distância de e de (isto é, ).
Passo 2
Primeiro parametrizamos explicitamente as coordenadas de um ponto genérico
da reta
. Somando coordenada a coordenada:
Aqui
percorre todos os pontos da reta: para cada
obtemos um ponto
.
Passo 3
Usamos a fórmula da distância em
. Se
e
, então a distância é
Para facilitar contas, é usual igualar as distâncias quadradas (pois a função raiz é monótona positiva). Calculamos as distâncias ao quadrado de
a
e a
.
Distância ao quadrado de
a
:
Distância ao quadrado de
a
:
Passo 4
Impondo que as distâncias sejam iguais (ou seja, as distâncias quadradas iguais), obtemos a equação
Agora simplificamos passo a passo.
Primeiro expandimos os quadrados quando necessário:
Calculando os termos do lado esquerdo:
Calculando os termos do lado direito:
Portanto a equação fica
Cancelando
de ambos os lados resulta
logo
Passo 5
Substituindo
na parametrização da reta, obtemos o ponto
Verificação rápida das distâncias (opcional, só para conferir):
ambas iguais, como desejado.