Dados a reta r: X=(1,0,0)+\lambda(1,1,1) e os pontos A=(1,1,1), B=(0,0,1), ache o ponto de r equidistante de A e B.

Passo 1

O enunciado dá a reta r e os pontos A e B. Vamos listar claramente o que foi fornecido e o que pedem:
  • Reta r: X=(1,0,0)+\lambda(1,1,1), onde \lambda é o parâmetro real.
  • Ponto A: A=(1,1,1).
  • Ponto B: B=(0,0,1).
    O que se pede: encontrar o ponto X pertencente a r que está à mesma distância de A e de B (isto é, \operatorname{dist}(X,A)=\operatorname{dist}(X,B)).

Passo 2

Primeiro parametrizamos explicitamente as coordenadas de um ponto genérico X da reta r. Somando coordenada a coordenada:
X(\lambda)=(1+\lambda,\;\lambda,\;\lambda).
Aqui \lambda\in\mathbb{R} percorre todos os pontos da reta: para cada \lambda obtemos um ponto X(\lambda).

Passo 3

Usamos a fórmula da distância em \mathbb{R}^3. Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então a distância é
\operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.
Para facilitar contas, é usual igualar as distâncias quadradas (pois a função raiz é monótona positiva). Calculamos as distâncias ao quadrado de X(\lambda) a A e a B.
Distância ao quadrado de X(\lambda) a A:
\begin{aligned} \|X(\lambda)-A\|^2 &=( (1+\lambda)-1 )^2 + ( \lambda-1 )^2 + ( \lambda-1 )^2 \\\ &= \lambda^2 + (\lambda-1)^2 + (\lambda-1)^2 \\\ &= \lambda^2 + 2(\lambda-1)^2. \end{aligned}
Distância ao quadrado de X(\lambda) a B:
\begin{aligned} \|X(\lambda)-B\|^2 &=( (1+\lambda)-0 )^2 + (\lambda-0)^2 + (\lambda-1)^2 \\\ &= (1+\lambda)^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2. \end{aligned}

Passo 4

Impondo que as distâncias sejam iguais (ou seja, as distâncias quadradas iguais), obtemos a equação
\lambda^2 + 2(\lambda-1)^2 = (1+\lambda)^2 + \lambda^2 + (\lambda-1)^2.
Agora simplificamos passo a passo.
Primeiro expandimos os quadrados quando necessário:
\lambda^2 + 2(\lambda^2 - 2\lambda +1) = (1 + 2\lambda + \lambda^2) + \lambda^2 + (\lambda^2 - 2\lambda +1).
Calculando os termos do lado esquerdo:
\lambda^2 + 2\lambda^2 -4\lambda +2 = 3\lambda^2 -4\lambda +2.
Calculando os termos do lado direito:
1 + 2\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 -2\lambda +1 = 3\lambda^2 +2.
Portanto a equação fica
3\lambda^2 -4\lambda +2 = 3\lambda^2 +2.
Cancelando 3\lambda^2+2 de ambos os lados resulta
-4\lambda = 0,
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\lambda = 0.

Passo 5

Substituindo \lambda=0 na parametrização da reta, obtemos o ponto
X(0)=(1+0,\;0,\;0)=(1,0,0).
Verificação rápida das distâncias (opcional, só para conferir):
\|X(0)-A\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}, \qquad \|X(0)-B\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2},
ambas iguais, como desejado.

Resposta

(1,0,0)

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