Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} um operador linear cuja matriz em relaçào a base B é [T]_{B}^{n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 5 & 1\end{array}\right). Seja D uma outra base do \mathbb{R}^{2}, sabendo que M_{D}^{B}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), determine a matriz de T em relaclo à base D.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a matriz de T na base B:
[T]_{B}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
  • Foi dada a matriz de mudança de base de D para B, que denoto por M_{D}^{B}:
M_{D}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui estou tomando a interpretação usual: M_{D}^{B} transforma coordenadas de um vetor na base D em coordenadas na base B; isto é, para todo v\in\mathbb{R}^2,
[v]_{B}=M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
  • O pedido: determinar a matriz de T em relação à base D, ou seja, encontrar [T]_{D}^{D}.]

Passo 2

Qual relação usar (intuição didática passo a passo):
  • Se [v]_{D} são as coordenadas de v em D, então [v]_{B}=M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
  • Aplicando T e expressando em coordenadas em B: [T(v)]_{B}=[T]_{B}^{B}\,[v]_{B}=[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
  • Para voltar às coordenadas em D usamos a inversa de M_{D}^{B}: [T(v)]_{D}=(M_{D}^{B})^{-1}\,[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
  • Como a igualdade acima vale para todo [v]_{D}, obtemos a fórmula de mudança de base: [T]_{D}^{D}=(M_{D}^{B})^{-1}\,[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}.
Explicação curta do porquê: é a conjugação (transformação de similaridade) que traduz a ação de T da descrição em coordenadas B para a descrição em coordenadas D. Cada passo é só converter coordenadas D\to B, aplicar T em B, e converter de volta B\to D.

Passo 3

Calcular a inversa de M_{D}^{B}. Primeiro o determinante:
\det(M_{D}^{B}) = 1\cdot 0 - 3\cdot 1 = -3.
Fórmula da inversa para uma matriz 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a M_{D}^{B}=\begin{pmatrix}1 & 3\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} temos:
(M_{D}^{B})^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}0 & -3\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1/3 & -1/3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o produto [T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}. Faço a multiplicação elemento a elemento:
[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}= \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Primeira linha: (1\cdot1 + 1\cdot1,\; 1\cdot3 + 1\cdot0) = (2,3).
Segunda linha: (5\cdot1 + 1\cdot1,\; 5\cdot3 + 1\cdot0) = (6,15).
Portanto
[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 6 & 15\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora multiplico (M_{D}^{B})^{-1} pela matriz obtida no passo anterior:
[M] := (M_{D}^{B})^{-1}\,[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1/3 & -1/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 6 & 15\end{pmatrix}.
Calculo linha a linha:
  • Primeira linha: (0\cdot2 + 1\cdot6,\; 0\cdot3 + 1\cdot15) = (6,15).
  • Segunda linha: (\tfrac{1}{3}\cdot2 + (-\tfrac{1}{3})\cdot6,\; \tfrac{1}{3}\cdot3 + (-\tfrac{1}{3})\cdot15).
    Isso dá (\tfrac{2}{3}-\tfrac{6}{3},\;1 - 5) = (-\tfrac{4}{3},\; -4).
    Portanto a matriz final é
[M]=\begin{pmatrix}6 & 15\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & -4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): similaridade preserva traço e determinante.
  • Traço de [T]_{B}^{B} é 1+1=2. Traço de [M] é 6+(-4)=2. OK.
  • Determinante de [T]_{B}^{B} é 1\cdot1-1\cdot5=-4. Determinante de [M] é 6\cdot(-4)-15\cdot(-\tfrac{4}{3})=-24+20=-4. OK.
    Esses cheques aumentam a confiança de que os cálculos estão corretos.

Resposta

[T]_{D}^{D}=\begin{pmatrix}6 & 15\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & -4\end{pmatrix}]

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