Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} um operador linear cuja matriz em relaçào a base B é [T]_{B}^{n}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 5 & 1\end{array}\right). Seja D uma outra base do \mathbb{R}^{2}, sabendo que M_{D}^{B}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), determine a matriz de T em relaclo à base D.
Aqui estou tomando a interpretação usual: M_{D}^{B} transforma coordenadas de um vetor na base D em coordenadas na base B; isto é, para todo v\in\mathbb{R}^2,
[v]_{B}=M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
O pedido: determinar a matriz de T em relação à base D, ou seja, encontrar [T]_{D}^{D}.]
Passo 2
Qual relação usar (intuição didática passo a passo):
Se [v]_{D} são as coordenadas de v em D, então [v]_{B}=M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
Aplicando T e expressando em coordenadas em B:[T(v)]_{B}=[T]_{B}^{B}\,[v]_{B}=[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
Para voltar às coordenadas em D usamos a inversa de M_{D}^{B}:[T(v)]_{D}=(M_{D}^{B})^{-1}\,[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}\,[v]_{D}.
Como a igualdade acima vale para todo [v]_{D}, obtemos a fórmula de mudança de base:[T]_{D}^{D}=(M_{D}^{B})^{-1}\,[T]_{B}^{B}\,M_{D}^{B}.
Explicação curta do porquê: é a conjugação (transformação de similaridade) que traduz a ação de T da descrição em coordenadas B para a descrição em coordenadas D. Cada passo é só converter coordenadas D\to B, aplicar T em B, e converter de volta B\to D.
Passo 3
Calcular a inversa de M_{D}^{B}. Primeiro o determinante:
\det(M_{D}^{B}) = 1\cdot 0 - 3\cdot 1 = -3.
Fórmula da inversa para uma matriz 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, então
Primeira linha: (0\cdot2 + 1\cdot6,\; 0\cdot3 + 1\cdot15) = (6,15).
Segunda linha: (\tfrac{1}{3}\cdot2 + (-\tfrac{1}{3})\cdot6,\; \tfrac{1}{3}\cdot3 + (-\tfrac{1}{3})\cdot15).
Isso dá (\tfrac{2}{3}-\tfrac{6}{3},\;1 - 5) = (-\tfrac{4}{3},\; -4).
Portanto a matriz final é
Verificação rápida (sanidade): similaridade preserva traço e determinante.
Traço de [T]_{B}^{B} é 1+1=2. Traço de [M] é 6+(-4)=2. OK.
Determinante de [T]_{B}^{B} é 1\cdot1-1\cdot5=-4. Determinante de [M] é 6\cdot(-4)-15\cdot(-\tfrac{4}{3})=-24+20=-4. OK.
Esses cheques aumentam a confiança de que os cálculos estão corretos.