A pergunta é: encontrar T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
Lista das informações relevantes: os três pares vetor-imagem acima; a linearidade de T (ou seja, T preserva combinações lineares).
Passo 2
Primeiro quero verificar que os três vetores dados podem representar qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} (ou seja, que são uma base). Coloco esses vetores como colunas na matriz
Como \det(M)=-8\neq0, os vetores (1,1,2),(0,2,-2),(0,0,-4) são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^{3}, formam uma base. Portanto qualquer (x,y,z) tem representação única como combinação linear desses vetores.]
Passo 3
Escrevo a representação linear desconhecida:
(x,y,z)=a(1,1,2)+b(0,2,-2)+c(0,0,-4),
onde a,b,c\in\mathbb{R}\) são escalares que dependem de \(x,y,z\). Igualando coordenadas obtemos o sistema
\[\begin{cases} x = a\\[4pt] y = a+2b\\[4pt] z = 2a-2b-4c. \end{cases}
Da primeira equação vem imediatamente
a=x.
Usando a=x\] na segunda equação:
\[y = x + 2b \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{y-x}{2}.\]
Agora substituo \(a=x e b=\dfrac{y-x}{2} na terceira equação:
z = 2x -2\cdot\frac{y-x}{2} -4c.
Simplifico o termo do meio:
-2\cdot\frac{y-x}{2}=-(y-x)=-y+x.
Logo
z = 2x +(-y+x) -4c = 3x - y -4c.
Isolando c:
4c = 3x - y - z \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{3x - y - z}{4}.]
Passo 4
Agora uso a linearidade de T: para escalares a,b,c e vetores v_1,v_2,v_3 vale
T\big(a v_1 + b v_2 + c v_3\big)=a\,T(v_1)+b\,T(v_2)+c\,T(v_3).
Aplicando isso ao caso com v_1=(1,1,2), v_2=(0,2,-2), v_3=(0,0,-4) e aos a,b,c que encontramos:
T(x,y,z)=a\,T(1,1,2)+b\,T(0,2,-2)+c\,T(0,0,-4).
Passo 5
Substituo os valores conhecidos de T e os coeficientes a,b,c. Primeiro escrevo a combinação antes de substituir:
T(x,y,z)=a(3,-1,0)+b(2,-2,-1)+c(0,0,-2).
Agora calculo coordenada a coordenada.
Primeira coordenada:
3a+2b+0c.
Substituindo a=x e b=\dfrac{y-x}{2}:
3x + 2\cdot\frac{y-x}{2}=3x+(y-x)=2x+y.
Segunda coordenada:
-\,a -2b +0c.
Substituindo:
- x -2\cdot\frac{y-x}{2} = -x - (y-x) = -y.
Terceira coordenada:
0\cdot a -1\cdot b -2c = -b -2c.
Substituindo b=\dfrac{y-x}{2} e c=\dfrac{3x-y-z}{4}: