Sejar T: R^{3} \rightarrow R^{3} um epreada linear em R^{3} tal que:
T(1,1,2)=(3,-1,0), T(0,2,-2)=(2,-2,-1), T(0,0,-4)=(0,0,-2)
a) Encontre T(x, y, z) para (x, y, z) \in R^{3}.

Passo 1

O enunciado dá que T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é uma transformação linear e fornece as imagens de três vetores:
T(1,1,2)=(3,-1,0),\qquad T(0,2,-2)=(2,-2,-1),\qquad T(0,0,-4)=(0,0,-2).
A pergunta é: encontrar T(x,y,z) para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
Lista das informações relevantes: os três pares vetor-imagem acima; a linearidade de T (ou seja, T preserva combinações lineares).

Passo 2

Primeiro quero verificar que os três vetores dados podem representar qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} (ou seja, que são uma base). Coloco esses vetores como colunas na matriz
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante de M para checar independência linear:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-2 & -4\end{pmatrix}-0+0 =1\cdot(2\cdot(-4)-0)=-8.
Como \det(M)=-8\neq0, os vetores (1,1,2),(0,2,-2),(0,0,-4) são linearmente independentes e, em \mathbb{R}^{3}, formam uma base. Portanto qualquer (x,y,z) tem representação única como combinação linear desses vetores.]

Passo 3

Escrevo a representação linear desconhecida:
(x,y,z)=a(1,1,2)+b(0,2,-2)+c(0,0,-4),
onde a,b,c\in\mathbb{R}\) são escalares que dependem de \(x,y,z\). Igualando coordenadas obtemos o sistema \[\begin{cases} x = a\\[4pt] y = a+2b\\[4pt] z = 2a-2b-4c. \end{cases}
Da primeira equação vem imediatamente
a=x.
Usando a=x\] na segunda equação: \[y = x + 2b \quad\Rightarrow\quad b=\dfrac{y-x}{2}.\] Agora substituo \(a=x e b=\dfrac{y-x}{2} na terceira equação:
z = 2x -2\cdot\frac{y-x}{2} -4c.
Simplifico o termo do meio:
-2\cdot\frac{y-x}{2}=-(y-x)=-y+x.
Logo
z = 2x +(-y+x) -4c = 3x - y -4c.
Isolando c:
4c = 3x - y - z \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{3x - y - z}{4}.]

Passo 4

Agora uso a linearidade de T: para escalares a,b,c e vetores v_1,v_2,v_3 vale
T\big(a v_1 + b v_2 + c v_3\big)=a\,T(v_1)+b\,T(v_2)+c\,T(v_3).
Aplicando isso ao caso com v_1=(1,1,2), v_2=(0,2,-2), v_3=(0,0,-4) e aos a,b,c que encontramos:
T(x,y,z)=a\,T(1,1,2)+b\,T(0,2,-2)+c\,T(0,0,-4).

Passo 5

Substituo os valores conhecidos de T e os coeficientes a,b,c. Primeiro escrevo a combinação antes de substituir:
T(x,y,z)=a(3,-1,0)+b(2,-2,-1)+c(0,0,-2).
Agora calculo coordenada a coordenada.
Primeira coordenada:
3a+2b+0c.
Substituindo a=x e b=\dfrac{y-x}{2}:
3x + 2\cdot\frac{y-x}{2}=3x+(y-x)=2x+y.
Segunda coordenada:
-\,a -2b +0c.
Substituindo:
- x -2\cdot\frac{y-x}{2} = -x - (y-x) = -y.
Terceira coordenada:
0\cdot a -1\cdot b -2c = -b -2c.
Substituindo b=\dfrac{y-x}{2} e c=\dfrac{3x-y-z}{4}:
-\,\frac{y-x}{2} -2\cdot\frac{3x-y-z}{4} = -\frac{y-x}{2} -\frac{3x-y-z}{2} = -\frac{(y-x)+(3x-y-z)}{2}.
No numerador:
(y-x)+(3x-y-z)= -2x + z.
Portanto a terceira coordenada vale
-\frac{-2x+z}{2}=\frac{2x - z}{2}= -x + \frac{z}{2}.
(uma forma mais direta é notar que o cálculo resulta em \dfrac{-2x+z}{2}, que é igual a -x+\dfrac{z}{2}.)
Juntando as três coordenadas obtemos a expressão final de T(x,y,z).

Resposta

\;T(x,y,z)=\bigl(2x+y,\; -y,\; -x+\tfrac{z}{2}\bigr)

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