Os dados a seguir representam o número de árvores plantadas em um parque durante os 20 primeiros dias do mês:
a) Calcular a média, moda e mediana interpretando os resultados obtidos.
b) Encontre a variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
b) Encontre a variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
Passo 1
O enunciado fornece os números de árvores plantadas nos primeiros 20 dias do mês:
O que pede:
- (a) Calcular a média, a moda e a mediana e interpretar os resultados.
- (b) Calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Informações úteis fornecidas:
- Número de observações:
. - São contagens diárias (valores inteiros não negativos).
- Todos os dados necessários estão no enunciado (não falta nada).
Passo 2
Decisão sobre o método e fórmulas que vou usar (explicação didática):
- Vou tratar os 20 dias como a população que quero descrever (isto é, tenho todas as observações do período que me interessa). Por isso uso as fórmulas de estatística descritiva para a população. Se estivesse inferindo para uma população maior a partir de uma amostra, usaríamos a correção
na variância (variância amostral). - Fórmulas que usarei:
- Média (valor médio):
- Média (valor médio):
onde
é cada observação e
é o número total de observações.
- Moda: valor que ocorre com maior frequência.
- Mediana: valor central. Para
par, mediana é a média dos dois valores centrais ordenados. - Variância populacional:
onde
e
.
- Desvio padrão populacional:
. - Coeficiente de variação:
Explicação curta: a variância mede a dispersão média dos valores em relação à média; o desvio padrão é a raiz da variância e tem as mesmas unidades dos dados; o coeficiente de variação mede essa dispersão relativa em porcentagem.
Passo 3
Organizar os dados contando quantas vezes cada valor aparece (tabela de frequências). A partir dos dados fornecidos contei:
-
: aparece vez. -
: aparece vezes. -
: aparece vezes. -
: aparece vezes. -
: aparece vezes. -
: aparece vezes. -
: aparece vez.
Verificação:
, bate com
.
Passo 4
Cálculo da média passo a passo:
- Primeiro somo os valores (uso a tabela de frequências para agrupar):
- Então a média é
Interpretação rápida: em média foram plantadas
árvores por dia nesse período. Como não se planta “0,6” de árvore num dia, a média é uma medida de tendência central que resume o comportamento médio diário.
Passo 5
Cálculo da moda e da mediana com explicações:
- Moda: o valor com maior frequência. Pela tabela, o valor
ocorre vezes, mais que qualquer outro valor, então
Interpretação: o número de árvores mais comum por dia foi
.
- Mediana: ordenar os 20 valores e pegar a média dos 10.º e 11.º valores (porque
é par). - Ordenando (em ordem não decrescente) os dados temos:
- O 10.º valor é
e o 11.º também é . Logo
Interpretação: metade dos dias teve plantio de até
árvores e metade dos dias teve pelo menos
árvores.
Comparação entre média, mediana e moda:
, mediana
, moda
. A média é maior que a mediana e moda, indicando que alguns dias com valores mais altos (por exemplo
e
) puxaram a média para cima — isto é, a distribuição tem uma leve assimetria à direita (valores extremos para cima).
Passo 6
Cálculo da variância usando a fórmula
(passo a passo):
- Primeiro somo os quadrados dos valores (usando as frequências):
- Então
- Já sabemos
, logo
Interpretação: a variância populacional é
(unidades: árvores ao quadrado). Isso diz, em termos quadráticos, quão espalhados estão os valores em torno da média.
Passo 7
Cálculo do desvio padrão e do coeficiente de variação:
- Desvio padrão:
Significado: tipicamente o número de árvores por dia se afasta da média em cerca de
árvores.
- Coeficiente de variação:
Interpretação: o desvio padrão corresponde a aproximadamente
da média — isto é bastante variação relativa em relação ao valor médio. Em linguagem prática: há uma variabilidade considerável no número diário de árvores plantadas.
Passo 8
Resumo interpretativo final e incentivo:
- Em termos práticos: o número mais comum de árvores plantadas por dia foi
(moda), metade dos dias teve até árvores (mediana ), mas a média é porque alguns dias com e árvores empurraram a média para cima. A variabilidade (desvio padrão ) é relativamente alta em relação à média (CV ), então os plantios diários não são muito constantes — há dias com poucas e alguns dias com muitos plantios. - Boa notícia: com essas contas você já tem todas as medidas pedidas e sabe como interpretá-las na prova. Vai dar certo — respira e repete os passos pra fixar!
Resposta
Média:
Moda:
Mediana:
Variância:
Desvio padrão:
Coeficiente de variação:
Moda:
Mediana:
Variância:
Desvio padrão:
Coeficiente de variação: