Os dados a seguir representam o número de árvores plantadas em um parque durante os 20 primeiros dias do mês:
2-4-6-3-2-1-4-3-5-2-1-1-4-0-2-2-5-2-2-1
a) Calcular a média, moda e mediana interpretando os resultados obtidos.
b) Encontre a variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado fornece os números de árvores plantadas nos primeiros 20 dias do mês:
2-4-6-3-2-1-4-3-5-2-1-1-4-0-2-2-5-2-2-1
O que pede:
  • (a) Calcular a média, a moda e a mediana e interpretar os resultados.
  • (b) Calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Informações úteis fornecidas:
  • Número de observações: \,N=20.
  • São contagens diárias (valores inteiros não negativos).
  • Todos os dados necessários estão no enunciado (não falta nada).

Passo 2

Decisão sobre o método e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Vou tratar os 20 dias como a população que quero descrever (isto é, tenho todas as observações do período que me interessa). Por isso uso as fórmulas de estatística descritiva para a população. Se estivesse inferindo para uma população maior a partir de uma amostra, usaríamos a correção N-1 na variância (variância amostral).
  • Fórmulas que usarei:
    • Média (valor médio): \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
onde \,x_i é cada observação e \,N é o número total de observações.
  • Moda: valor que ocorre com maior frequência.
  • Mediana: valor central. Para N par, mediana é a média dos dois valores centrais ordenados.
  • Variância populacional: \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2 = E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2,
onde E[X]=\bar{x} e E[X^2]=\dfrac{1}{N}\sum x_i^2.
  • Desvio padrão populacional: \sigma=\sqrt{\sigma^2}.
  • Coeficiente de variação: CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Explicação curta: a variância mede a dispersão média dos valores em relação à média; o desvio padrão é a raiz da variância e tem as mesmas unidades dos dados; o coeficiente de variação mede essa dispersão relativa em porcentagem.

Passo 3

Organizar os dados contando quantas vezes cada valor aparece (tabela de frequências). A partir dos dados fornecidos contei:
  • \,0: aparece 1 vez.
  • \,1: aparece 4 vezes.
  • \,2: aparece 7 vezes.
  • \,3: aparece 2 vezes.
  • \,4: aparece 3 vezes.
  • \,5: aparece 2 vezes.
  • \,6: aparece 1 vez.
Verificação: 1+4+7+2+3+2+1=20, bate com N=20.

Passo 4

Cálculo da média passo a passo:
  • Primeiro somo os valores (uso a tabela de frequências para agrupar):
\sum_{i=1}^{20} x_i = 0\cdot1 + 1\cdot4 + 2\cdot7 + 3\cdot2 + 4\cdot3 + 5\cdot2 + 6\cdot1 = 52.
  • Então a média é
\bar{x}=\frac{52}{20}=2,6.
Interpretação rápida: em média foram plantadas 2,6 árvores por dia nesse período. Como não se planta “0,6” de árvore num dia, a média é uma medida de tendência central que resume o comportamento médio diário.

Passo 5

Cálculo da moda e da mediana com explicações:
  • Moda: o valor com maior frequência. Pela tabela, o valor \,2 ocorre 7 vezes, mais que qualquer outro valor, então
\text{Moda} = 2.
Interpretação: o número de árvores mais comum por dia foi 2.
  • Mediana: ordenar os 20 valores e pegar a média dos 10.º e 11.º valores (porque N é par).
    • Ordenando (em ordem não decrescente) os dados temos:
0,\,1,\,1,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4,\,4,\,5,\,5,\,6.
  • O 10.º valor é 2 e o 11.º também é 2. Logo
\text{Mediana}=\frac{2+2}{2}=2.
Interpretação: metade dos dias teve plantio de até 2 árvores e metade dos dias teve pelo menos 2 árvores.
Comparação entre média, mediana e moda: \bar{x}=2,6, mediana =2, moda =2. A média é maior que a mediana e moda, indicando que alguns dias com valores mais altos (por exemplo 5 e 6) puxaram a média para cima — isto é, a distribuição tem uma leve assimetria à direita (valores extremos para cima).

Passo 6

Cálculo da variância usando a fórmula E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 (passo a passo):
  • Primeiro somo os quadrados dos valores (usando as frequências):
\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 0^2\cdot1 + 1^2\cdot4 + 2^2\cdot7 + 3^2\cdot2 + 4^2\cdot3 + 5^2\cdot2 + 6^2\cdot1 = 184.
  • Então E[X^2]=\dfrac{184}{20}=9,2.
  • Já sabemos E[X]=\bar{x}=2,6, logo
\sigma^2 = E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 = 9,2 - (2,6)^2 = 9,2 - 6,76 = 2,44.
Interpretação: a variância populacional é \,2,44 (unidades: árvores ao quadrado). Isso diz, em termos quadráticos, quão espalhados estão os valores em torno da média.

Passo 7

Cálculo do desvio padrão e do coeficiente de variação:
  • Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{2,44}\approx 1,56.
Significado: tipicamente o número de árvores por dia se afasta da média em cerca de 1,56 árvores.
  • Coeficiente de variação:
CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%=\frac{1,56205\ldots}{2,6}\times 100\%\approx 60,08\%.
Interpretação: o desvio padrão corresponde a aproximadamente 60\% da média — isto é bastante variação relativa em relação ao valor médio. Em linguagem prática: há uma variabilidade considerável no número diário de árvores plantadas.

Passo 8

Resumo interpretativo final e incentivo:
  • Em termos práticos: o número mais comum de árvores plantadas por dia foi 2 (moda), metade dos dias teve até 2 árvores (mediana =2), mas a média é 2,6 porque alguns dias com 5 e 6 árvores empurraram a média para cima. A variabilidade (desvio padrão \approx 1,56) é relativamente alta em relação à média (CV \approx 60\%), então os plantios diários não são muito constantes — há dias com poucas e alguns dias com muitos plantios.
  • Boa notícia: com essas contas você já tem todas as medidas pedidas e sabe como interpretá-las na prova. Vai dar certo — respira e repete os passos pra fixar!

Resposta

Média: \bar{x}=2,6
Moda: 2
Mediana: 2
Variância: \sigma^2=2,44
Desvio padrão: \sigma\approx1,56
Coeficiente de variação: CV\approx60,08\%

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