A seguir, estão listadas as quantidades de peças defeituosas por dia em uma Fábrica de Cerâmica durante 25 dias.
Para esses dados:
a) Construa a distribuição de frequência.
b) Encontre a Média, Mediana e Moda e interprete.
c) Calcule: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
d) Faça o histograma e o polígono de frequência.
a) Construa a distribuição de frequência.
b) Encontre a Média, Mediana e Moda e interprete.
c) Calcule: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
d) Faça o histograma e o polígono de frequência.
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de peças defeituosas por dia em 25 dias, listadas em ordem (peguei os números do enunciado):
O que é pedido:
a) Construir a distribuição de frequência (contagem, frequência relativa e acumulada).
b) Encontrar a Média, Mediana e Moda e interpretar os resultados.
c) Calcular a Variância, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação.
d) Fazer o histograma e o polígono de frequência.
a) Construir a distribuição de frequência (contagem, frequência relativa e acumulada).
b) Encontrar a Média, Mediana e Moda e interpretar os resultados.
c) Calcular a Variância, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação.
d) Fazer o histograma e o polígono de frequência.
Passo 2
Organizar os dados contando quantas vezes cada número aparece (é o primeiro passo prático para a distribuição de frequência). Vou contar para cada valor
.
Contagem feita diretamente sobre a lista:
-
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes. -
aparece vezes.
Verificação rápida:
(número total de observações).
Passo 3
Montar a tabela da distribuição de frequência (vou incluir frequência absoluta
, frequência relativa
e frequência acumulada
).
- Para cada valor
, é a contagem já obtida. - A frequência relativa
é , onde . - A frequência acumulada
é a soma das frequências absolutas até aquele valor.
Cálculos:
- Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , . - Para
: , , .
Resumo tabular (valores importantes): para
as frequências absolutas são
; as relativas são
; as acumuladas são
.
Passo 4
Calcular a média usando a fórmula com frequência:
onde
são os valores possíveis (0 a 5),
as respectivas frequências e
.
Calcular
:
Então
Interpretação rápida: em média, nos 25 dias houve
peças defeituosas por dia — ou seja, aproximadamente entre 2 e 3 defeitos por dia.
Passo 5
Calcular a mediana. Procedimento para mediana com
ímpar:
- Ordenar ou usar a frequência acumulada. A posição da mediana é a
-ésima observação. - Aqui
, então posição . A mediana é o 13.º valor na ordenação crescente.
Usando a frequência acumulada (veja Passo 3):
- Até
a frequência acumulada é (ou seja, as primeiras 12 observações são ). - Até
a frequência acumulada é , então as observações a têm valor .
Logo a 13.ª observação é
, portanto a mediana é
.
Interpretação: metade dos dias teve até
defeitos e metade teve
ou mais; o valor central do conjunto é
.
Passo 6
Determinar a moda. A moda é o(s) valor(es) com maior frequência absoluta.
Das frequências encontradas, os maiores valores de
são
ocorrências para
e
. Portanto há duas modas:
e
(distribuição bimodal).
Interpretação: os valores mais frequentes de defeitos por dia foram 1 e 5; isto indica que, nos dados observados, dias com 1 defeito e dias com 5 defeitos ocorreram com maior frequência relativa (cada um
dos dias).
Passo 7
Calcular a variância. Vou explicar duas opções (populacional e amostral) e calcular a que costuma ser pedida em estatística descritiva para amostras: a variância amostral
(denominador
). Explicação das fórmulas:
- Variância populacional:
- Variância amostral (estimador não viesado):
Primeiro calculo
:
Agora calculo as variâncias:
- Variância populacional:
- Variância amostral:
Passo 8
Calcular os desvios padrão (raiz quadrada das variâncias) e o coeficiente de variação.
- Desvio padrão populacional:
(mais precisamente
).
- Desvio padrão amostral:
(mais precisamente
).
- Coeficiente de variação (usualmente usa-se o desvio padrão amostral para medidas relativas de dispersão):
Interpretação: o desvio padrão é cerca de
defeitos por dia, e o CV de aproximadamente
indica que a dispersão é relativamente alta em relação à média (ou seja, os dias variam bastante em número de defeitos comparado à média).
Passo 9
Construir o histograma e o polígono de frequência (explicação didática e representação textual).
Como os dados são discretos e tomam valores inteiros de
a
, é natural fazer barras centradas em cada valor inteiro (ou intervalos
para cada
). A altura das barras pode ser a frequência absoluta
ou a frequência relativa
. O polígono de frequência liga os pontos
(ou
) com segmentos de reta; costuma-se fechar o polígono adicionando um ponto com
antes de
e outro depois de
se quiser fechá-lo.
Representação simples do histograma (cada “*” representa 1 dia, uso as frequências absolutas
). Valores e frequências estão em notação matemática quando numerados:
Polígono de frequência (pontos
para
):
Ligar esses pontos em ordem com segmentos de reta forma o polígono. Se for desenhar numa folha ou software, coloque no eixo horizontal os valores
a
e no vertical a frequência (de 0 a 5), desenhe as barras do histograma e trace a linha passando pelos centros das barras nos valores indicados.
Resposta
a) Distribuição de frequência:
b) Média
. Mediana
. Moda
e
(bimodal).
c) Variância amostral ; desvio padrão amostral
; coeficiente de variação
. (Valores populacionais:
,
, se preferir usar
no denominador.)
d) Histograma (barras em frequência absoluta):
*** (
)
***** (
)
**** (
)
**** (
)
**** (
)
***** (
)
Polígono de frequência: pontos ligados por segmentos de reta.
c) Variância amostral
d) Histograma (barras em frequência absoluta):
Polígono de frequência: pontos