A seguir, estão listadas as quantidades de peças defeituosas por dia em uma Fábrica de Cerâmica durante 25 dias.
0-1-5-4-3-5-2-3-3-4-1-0-2-0-5-5-4-2-1-3-2-1-4-5-1
Para esses dados:
a) Construa a distribuição de frequência.
b) Encontre a Média, Mediana e Moda e interprete.
c) Calcule: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
d) Faça o histograma e o polígono de frequência.

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de peças defeituosas por dia em 25 dias, listadas em ordem (peguei os números do enunciado):
0-1-5-4-3-5-2-3-3-4-1-0-2-0-5-5-4-2-1-3-2-1-4-5-1.
O que é pedido:
a) Construir a distribuição de frequência (contagem, frequência relativa e acumulada).
b) Encontrar a Média, Mediana e Moda e interpretar os resultados.
c) Calcular a Variância, o Desvio Padrão e o Coeficiente de Variação.
d) Fazer o histograma e o polígono de frequência.

Passo 2

Organizar os dados contando quantas vezes cada número aparece (é o primeiro passo prático para a distribuição de frequência). Vou contar para cada valor x\in\{0,1,2,3,4,5\}.
Contagem feita diretamente sobre a lista:
  • 0 aparece 3 vezes.
  • 1 aparece 5 vezes.
  • 2 aparece 4 vezes.
  • 3 aparece 4 vezes.
  • 4 aparece 4 vezes.
  • 5 aparece 5 vezes.
Verificação rápida: 3+5+4+4+4+5=25 (número total de observações).

Passo 3

Montar a tabela da distribuição de frequência (vou incluir frequência absoluta f, frequência relativa p e frequência acumulada F).
  • Para cada valor x, f é a contagem já obtida.
  • A frequência relativa p é p=f/n, onde n=25.
  • A frequência acumulada F é a soma das frequências absolutas até aquele valor.
Cálculos:
  • Para x=0: f=3, p=3/25=0,12, F=3.
  • Para x=1: f=5, p=5/25=0,20, F=3+5=8.
  • Para x=2: f=4, p=4/25=0,16, F=8+4=12.
  • Para x=3: f=4, p=4/25=0,16, F=12+4=16.
  • Para x=4: f=4, p=4/25=0,16, F=16+4=20.
  • Para x=5: f=5, p=5/25=0,20, F=20+5=25.
Resumo tabular (valores importantes): para x=0,1,2,3,4,5 as frequências absolutas são 3,5,4,4,4,5; as relativas são 0,12; 0,20; 0,16; 0,16; 0,16; 0,20; as acumuladas são 3,8,12,16,20,25.

Passo 4

Calcular a média usando a fórmula com frequência:
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{n}
onde x_i são os valores possíveis (0 a 5), f_i as respectivas frequências e n=25.
Calcular \sum f_i x_i:
\sum f_i x_i = 0\cdot3 + 1\cdot5 + 2\cdot4 + 3\cdot4 + 4\cdot4 + 5\cdot5 = 0 + 5 + 8 + 12 + 16 + 25 = 66.
Então
\bar{x}=\frac{66}{25}=2,64.
Interpretação rápida: em média, nos 25 dias houve \,2,64 peças defeituosas por dia — ou seja, aproximadamente entre 2 e 3 defeitos por dia.

Passo 5

Calcular a mediana. Procedimento para mediana com n ímpar:
  • Ordenar ou usar a frequência acumulada. A posição da mediana é a \left(\dfrac{n+1}{2}\right)-ésima observação.
  • Aqui n=25, então posição \dfrac{25+1}{2}=13. A mediana é o 13.º valor na ordenação crescente.
Usando a frequência acumulada (veja Passo 3):
  • Até x=2 a frequência acumulada é 12 (ou seja, as primeiras 12 observações são \le2).
  • Até x=3 a frequência acumulada é 16, então as observações 13 a 16 têm valor 3.
Logo a 13.ª observação é 3, portanto a mediana é 3.
Interpretação: metade dos dias teve até 3 defeitos e metade teve 3 ou mais; o valor central do conjunto é 3.

Passo 6

Determinar a moda. A moda é o(s) valor(es) com maior frequência absoluta.
Das frequências encontradas, os maiores valores de f são 5 ocorrências para x=1 e x=5. Portanto há duas modas: 1 e 5 (distribuição bimodal).
Interpretação: os valores mais frequentes de defeitos por dia foram 1 e 5; isto indica que, nos dados observados, dias com 1 defeito e dias com 5 defeitos ocorreram com maior frequência relativa (cada um 20\% dos dias).

Passo 7

Calcular a variância. Vou explicar duas opções (populacional e amostral) e calcular a que costuma ser pedida em estatística descritiva para amostras: a variância amostral s^2 (denominador n-1). Explicação das fórmulas:
  • Variância populacional:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum f_i (x_i-\bar{x})^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2.
  • Variância amostral (estimador não viesado):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum f_i (x_i-\bar{x})^2 = \frac{\sum f_i x_i^2 - n\bar{x}^2}{\,n-1\,}.
Primeiro calculo \sum f_i x_i^2:
\sum f_i x_i^2 = 0^2\cdot3 + 1^2\cdot5 + 2^2\cdot4 + 3^2\cdot4 + 4^2\cdot4 + 5^2\cdot5 = 0 + 5 + 16 + 36 + 64 + 125 = 246.
Agora calculo as variâncias:
  • Variância populacional:
\sigma^2=\frac{246}{25} - (2,64)^2 = 9,84 - 6,9696 = 2,8704.
  • Variância amostral:
s^2=\frac{246 - 25\cdot(2,64)^2}{24}=\frac{246 - 174,24}{24}=\frac{71,76}{24}=2,99.

Passo 8

Calcular os desvios padrão (raiz quadrada das variâncias) e o coeficiente de variação.
  • Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{2,8704}\approx 1,69.
(mais precisamente \approx1,694).
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2,99}\approx 1,73.
(mais precisamente \approx1,729).
  • Coeficiente de variação (usualmente usa-se o desvio padrão amostral para medidas relativas de dispersão):
CV=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%=\frac{1,729}{2,64}\times100\%\approx 65,42\%.
Interpretação: o desvio padrão é cerca de 1,73 defeitos por dia, e o CV de aproximadamente 65\% indica que a dispersão é relativamente alta em relação à média (ou seja, os dias variam bastante em número de defeitos comparado à média).

Passo 9

Construir o histograma e o polígono de frequência (explicação didática e representação textual).
Como os dados são discretos e tomam valores inteiros de 0 a 5, é natural fazer barras centradas em cada valor inteiro (ou intervalos [x-0,5,x+0,5] para cada x). A altura das barras pode ser a frequência absoluta f ou a frequência relativa p. O polígono de frequência liga os pontos (x,f) (ou (x,p)) com segmentos de reta; costuma-se fechar o polígono adicionando um ponto com f=0 antes de x=0 e outro depois de x=5 se quiser fechá-lo.
Representação simples do histograma (cada “*” representa 1 dia, uso as frequências absolutas f). Valores e frequências estão em notação matemática quando numerados:
\,0: *** ( 3)
\,1: ***** ( 5)
\,2: **** ( 4)
\,3: **** ( 4)
\,4: **** ( 4)
\,5: ***** ( 5)
Polígono de frequência (pontos (x,f) para x=0,1,2,3,4,5):
(0,3),\;(1,5),\;(2,4),\;(3,4),\;(4,4),\;(5,5).
Ligar esses pontos em ordem com segmentos de reta forma o polígono. Se for desenhar numa folha ou software, coloque no eixo horizontal os valores 0 a 5 e no vertical a frequência (de 0 a 5), desenhe as barras do histograma e trace a linha passando pelos centros das barras nos valores indicados.

Resposta

a) Distribuição de frequência: x=0:\\ f=3,\\ p=0,12,\\ F=3;\quad x=1:\\ f=5,\\ p=0,20,\\ F=8;\quad x=2:\\ f=4,\\ p=0,16,\\ F=12;\quad x=3:\\ f=4,\\ p=0,16,\\ F=16;\quad x=4:\\ f=4,\\ p=0,16,\\ F=20;\quad x=5:\\ f=5,\\ p=0,20,\\ F=25.
b) Média \bar{x}=2,64. Mediana =3. Moda =1 e 5 (bimodal).
c) Variância amostral s^2=2,99; desvio padrão amostral s\approx1,73; coeficiente de variação CV\approx65,42\%. (Valores populacionais: \sigma^2=2,8704, \sigma\approx1,69, se preferir usar n no denominador.)
d) Histograma (barras em frequência absoluta):
\,0: *** ( 3)
\,1: ***** ( 5)
\,2: **** ( 4)
\,3: **** ( 4)
\,4: **** ( 4)
\,5: ***** ( 5)
Polígono de frequência: pontos (0,3),(1,5),(2,4),(3,4),(4,4),(5,5) ligados por segmentos de reta.

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