Abaixo são relacionados os salários semanais (em Reais) de 60 operários de uma fábrica de sapatos.
110
120
125
136
145
150
165
172
180
185
110
120
125
140
145
155
165
172
180
190
115
120
130
140
145
158
168
175
180
190
115
120
130
140
147
158
168
175
180
195
117
120
130
140
150
160
170
175
180
195
117
123
135
142
150
163
170
178
185
198
a) Construa a distribuição de frequência.
b) Encontre a Média, Mediana e Moda e interprete.
c) Calcule: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
Passo 1
O enunciado dá os salários semanais (em Reais) de 60 operários (lista de 60 valores) e pede três coisas:
(a) construir a distribuição de frequência;
(b) calcular e interpretar a Média, a Mediana e a Moda;
(c) calcular Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
Informações relevantes que extraí dos dados:
Número total de observações: \,n=60.
Valor mínimo observado: \,110.
Valor máximo observado: \,198.
Amplitude (variação): \,198-110=88.
Não estou resolvendo nada ainda — só identifiquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Escolha das classes para a distribuição de frequência (explicando o critério):
Para organizar os 60 valores de forma clara escolhi classes de amplitude de 10 Reais, começando em 110 (porque o mínimo é 110). Essa escolha é natural aqui porque os valores aparecem muito em dezenas (120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190) e fica fácil calcular e interpretar.
Estas 9 classes cobrem todo o intervalo [110,198].
Passo 3
Contagem das frequências em cada classe (fizendo a contagem diretamente dos dados fornecidos; explicito quantas vezes peguei cada valor se for necessário):
Classe \,110\!-\!119: valores observados 110,110,115,115,117,117 → frequência f=6.
Classe \,120\!-\!129: valores 120,120,120,120,120,123,125,125 → f=8.
Classe \,130\!-\!139: valores 130,130,130,135,136 → f=5.
Classe \,140\!-\!149: valores 140,140,140,140,142,145,145,145,147 → f=9.
Classe \,150\!-\!159: valores 150,150,150,155,158,158 → f=6.
Classe \,160\!-\!169: valores 160,163,165,165,168,168 → f=6.
Classe \,170\!-\!179: valores 170,170,172,172,175,175,175,178 → f=8.
Classe \,180\!-\!189: valores 180,180,180,180,180,185,185 → f=7.
Classe \,190\!-\!199: valores 190,190,195,195,198 → f=5.
Verificação: 6+8+5+9+6+6+8+7+5=60 (confere).
Vou apresentar a distribuição em forma resumida com frequência absoluta e frequência acumulada (útil para a mediana):
Cálculo da Média aritmética (\overline{x}) — método prático usado:
Fórmula (média dos n valores):\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.Aqui x_i são os salários individuais e n=60.
Somei todos os 60 salários (fiz a soma por linhas conforme os dados fornecidos). O total das observações é\sum_{i=1}^{60} x_i = 9137.
Portanto\overline{x}=\frac{9137}{60}\approx152{,}2833\\ \text{(Reais)}.Arredondando para duas casas decimais: \overline{x}\approx152{,}28\\ \text{R\$}.
Comentário didático curto: a média é o “valor médio” dos salários; aqui fica cerca de R$152,28 por semana.
Passo 5
Cálculo da Mediana — como encontrar o elemento central:
Para n=60 (par), a mediana é a média entre a 30-ésima e a 31-ésima observações após ordenar os dados.
Usei a frequência acumulada da tabela: F_i ultrapassa 30 na classe 150\text{--}159 (porque F chega a 28 na classe anterior e 34 nessa), logo tanto o 30.º quanto o 31.º valor estão na classe 150\text{--}159.
Como os valores individuais dentro dessa classe são 150,150,150,155,158,158, a 30.ª observação é 150 e a 31.ª também é 150.
Logo a mediana é\text{Mediana}=\frac{150+150}{2}=150.
Interpretação simples: metade dos operários ganha até R$150 e metade ganha pelo menos R$150.
Passo 6
Determinação da Moda:
Moda é o valor que aparece com maior frequência absoluta.
Contagens por valor: o valor 120 aparece 5 vezes e o valor 180 aparece 5 vezes (ambos são os mais frequentes). Não há nenhum valor com frequência maior que 5.
Portanto a distribuição é bimodal com modos\text{Moda} = 120\\ \text{e}\\\ 180.
Interpretação: há dois picos na distribuição dos salários — muitos ganham R$120 e muitos ganham R$180.
Passo 7
Cálculo da Variância populacional e Desvio Padrão (escolha do método e fórmula usada)
Decisão sobre qual fórmula usar: aqui temos a lista completa dos salários dos 60 operários (não estamos explicitamente dizendo que é uma amostra de uma população maior), então vou tratar os dados como a população inteira e usar as fórmulas populacionais (denominador n). Se o exercício pedisse o estimador amostral não-viesado, usaríamos divisor n-1; explico isso ao final.
Fórmula usada (variância populacional \sigma^2):\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2que é equivalente, numericamente mais conveniente, a\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \overline{x}^{\,2}.Aqui vou usar a segunda forma porque já computei \sum x_i e é prático computar \sum x_i^2.
Calculei a soma dos quadrados dos salários:\sum_{i=1}^{60} x_i^2 = 1\,430\,027.
Então\frac{1}{n}\sum x_i^2 = \frac{1\,430\,027}{60}=23\,833{,}7833\ldotse já calculei \overline{x}^{\,2}=\left(\dfrac{9137}{60}\right)^{2}=23\,190{,}2136\ldots.
Assim a variância populacional é\sigma^2=23\,833{,}7833\ldots - 23\,190{,}2136\ldots \approx 643{,}5697.
Observação didática: se fosse pedido o desvio padrão amostral (estimador não-viesado) usaríamos
s^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\overline{x})^2,
o que daria um valor ligeiramente maior (dividindo a soma dos quadrados por 59 em vez de 60) — mas o exercício não especificou amostra, então usei population.
Passo 8
Cálculo do Coeficiente de Variação (CV) e interpretação
Substituindo \sigma\approx25{,}369 e \overline{x}\approx152{,}2833,\text{CV}\approx\frac{25{,}369}{152{,}2833}\times100\%\approx16{,}65\%.
Interpretação: o desvio padrão representa cerca de 16{,}65\% da média — isto indica uma variabilidade moderada nos salários em relação ao salário médio.
Passo 9
Resumo interpretativo final (curto e motivador):
A média (\approx R\$152{,}28) dá uma referência do salário típico. A mediana (R\$150) é quase igual à média, o que indica que a distribuição não é fortemente assimétrica. A presença de duas modas (R\$120 e R\$180) mostra que há dois grupos relativamente grandes de salários. O desvio padrão (\approx R\$25{,}37) e o CV (\approx16{,}65\%) mostram que há variação relevante entre salários, mas não excessiva.
Resposta
Distribuição de frequência (classe : frequência): 110\text{--}119:6,\;120\text{--}129:8,\;130\text{--}139:5,\;140\text{--}149:9,\;150\text{--}159:6,\;160\text{--}169:6,\;170\text{--}179:8,\;180\text{--}189:7,\;190\text{--}199:5