Os dados a seguir representam a percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne e frango, a partir de uma amostra em uma cadeia de lanchonetes:
Carne \rightarrow 43 ; 47 ; 48 ; 51 ; 51 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Com relação à percentagem de gordura nos lanches de frango e nos de carne, qual tipo de lanche possui a menor dispersão relativa?

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras (percentagem de calorias provenientes de gordura) e pergunta qual tipo de lanche tem menor dispersão relativa.
Dados fornecidos:
  • Carne: 43,\;47,\;48,\;51,\;51,\;55,\;55,\;57,\;59.
  • Frango: 20,\;22,\;45,\;46,\;53,\;54,\;56,\;57.
O que se pede:
  • Determinar, entre os lanches de carne e os de frango, qual apresenta a menor dispersão relativa das percentagens de gordura.

Passo 2

Explicação do conceito e método que vamos usar (devagar, sem pânico):
  • Dispersão relativa é uma medida que compara a variabilidade dos dados em relação à média. A medida padrão para isso é o coeficiente de variação, que é adimensional e permite comparar dispersões de conjuntos com médias diferentes.
  • Fórmulas que vamos usar:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
\text{coeficiente de variação }(CV)=\frac{s}{\bar{x}}çã
Aqui:
  • \bar{x} é a média da amostra.
  • n é o número de observações.
  • s é o desvio padrão amostral (raiz quadrada da variância amostral s^2).
  • CV é o coeficiente de variação (normalmente expresso em percentual por \times 100\%).
Vou calcular \bar{x}, s e CV separadamente para cada grupo e então comparar os CV.

Passo 3

Cálculo para os lanches de carne.
Primeiro o tamanho e a soma:
  • n_{\text{carne}}=9.
  • Soma dos valores: \sum x_i = 43+47+48+51+51+55+55+57+59 = 466.
Média:
\bar{x}_{\text{carne}}=\frac{466}{9}\approx 51,777\ldots

Passo 4

Continuando para carne: calcular a variância amostral usando a fórmula com soma dos quadrados (mais prático à mão).
Soma dos quadrados:
\sum x_i^2 = 43^2+47^2+48^2+51^2+51^2+55^2+55^2+57^2+59^2 = 24344.
Usando a fórmula alternativa para s^2:
s_{\text{carne}}^2=\frac{\sum x_i^2 - \dfrac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1} =\frac{24344 - \dfrac{466^2}{9}}{8}.
Calculemos passo a passo (valores numa forma decimal):
\dfrac{466^2}{9}=\dfrac{217156}{9}\approx 24128,444\ldots
24344 - 24128,444\ldots = 215,555\ldots
s_{\text{carne}}^2=\frac{215,555\ldots}{8}\approx 26,944444\ldots
s_{\text{carne}}=\sqrt{26,944444\ldots}\approx 5,191.

Passo 5

Coeficiente de variação para carne:
CV_{\text{carne}}=\frac{s_{\text{carne}}}{\bar{x}_{\text{carne}}} \approx \frac{5,191}{51,777\ldots}\approx 0,1002 \approx 10,02\%.

Passo 6

Cálculo para os lanches de frango.
Tamanho e soma:
  • n_{\text{frango}}=8.
  • Soma dos valores: \sum x_i = 20+22+45+46+53+54+56+57 = 353.
Média:
\bar{x}_{\text{frango}}=\frac{353}{8}=44,125.

Passo 7

Variância e desvio padrão para frango (usando soma dos quadrados).
Soma dos quadrados:
\sum x_i^2 = 20^2+22^2+45^2+46^2+53^2+54^2+56^2+57^2 = 17135.
Aplicando a fórmula:
s_{\text{frango}}^2=\frac{17135 - \dfrac{353^2}{8}}{7}.
Passo a passo:
\dfrac{353^2}{8}=\dfrac{124609}{8}=15576,125
17135 - 15576,125 = 1558,875
s_{\text{frango}}^2=\frac{1558,875}{7}\approx 222,6964286
s_{\text{frango}}=\sqrt{222,6964286}\approx 14,92.

Passo 8

Coeficiente de variação para frango:
CV_{\text{frango}}=\frac{s_{\text{frango}}}{\bar{x}_{\text{frango}}} \approx \frac{14,92}{44,125}\approx 0,3380 \approx 33,80\%.

Passo 9

Comparação e conclusão (motivo claro):
  • CV_{\text{carne}}\approx 10,02\%.
  • CV_{\text{frango}}\approx 33,80\%.
O coeficiente de variação do conjunto carne é muito menor que o do conjunto frango, portanto a dispersão relativa das percentagens de gordura é menor nos lanches de carne. Resultado intuitivo: embora as médias sejam diferentes ( \bar{x}_{\text{carne}}\approx 51{,}78 e \bar{x}_{\text{frango}}=44{,}125), o desvio padrão relativo (proporção do desvio em relação à média) é bem menor para carne, o que significa que as percentagens de gordura dos lanches de carne estão mais concentradas em torno da média do que as de frango.

Resposta

Os lanches de carne apresentam menor dispersão relativa ( CV_{\text{carne}}\approx 10{,}02\% contra CV_{\text{frango}}\approx 33{,}80\% ).

Exercícios relacionados