Os dados a seguir representam a percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne e frango, a partir de uma amostra em uma cadeia de lanchonetes:
Carne \rightarrow 43 ; 47 ; 48 ; 51 ; 51 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para a percentagem de gordura em lanches de carne.

Passo 1

O enunciado fornece os valores da percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne (amostra) e pede três coisas para essa amostra de carne:
  • Dados (valores): \;43,\;47,\;48,\;51,\;51,\;55,\;55,\;57,\;59.
  • Calcular:
    1. a variância;
    2. o desvio-padrão;
    3. o coeficiente de variação da percentagem de gordura nos lanches de carne.

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vou usar (explicação didática).
  • Como esses números vêm de uma amostra de lanches (não do universo inteiro), usamos as fórmulas amostrais padrão: variância amostral s^{2} e desvio-padrão amostral s. Isso é o que normalmente se pede em provas quando não se diz que os dados representam toda a população.
  • Fórmula da média amostral (média aritmética): \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,onde x_i são os valores da amostra e n é o número de observações.
  • Fórmula da variância amostral (estimador não viciado): s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^{2},onde n-1 corrige o viés (é o que se aprende em inferência estatística).
  • Fórmula do desvio-padrão amostral: s=\sqrt{s^{2}}.
  • Fórmula do coeficiente de variação (CV), que padroniza o desvio em relação à média: \text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Explicação rápida das variáveis: x_i é cada percentagem observada, \bar{x} é a média das observações, n é o total de observações, s^{2} mede a dispersão média dos dados (em unidades ao quadrado), s é a dispersão na mesma unidade dos dados (aqui pontos percentuais) e CV é sem unidade (apresentado em porcentagem) que permite comparar dispersões relativas.

Passo 3

Calcular a média \bar{x}.
  • Primeiro soma dos valores: \sum x_i = 43+47+48+51+51+55+55+57+59 = 466.
  • Número de observações: n=9.
  • Assim a média é \bar{x}=\frac{466}{9}\approx 51,777\ldots(em notação exata \bar{x}=\dfrac{466}{9}, e aproximadamente \bar{x}\approx 51,777).

Passo 4

Preparar o cálculo das somas dos quadrados das diferenças \sum (x_i-\bar{x})^2 de forma exata e prática (truque algébrico útil para contas à mão).
  • Como \bar{x}=\dfrac{466}{9}, cada diferença pode ser escrita x_i-\bar{x}=\frac{9x_i-466}{9}.Portanto o quadrado da diferença é (x_i-\bar{x})^2=\frac{(9x_i-466)^2}{81}.
  • Vou calcular para cada x_i o valor de 9x_i-466 e o seu quadrado (inteiros), somá-los e dividir por 81 no final.

Passo 5

Cálculo dos termos 9x_i-466 e seus quadrados (mostrando cada item).
  • Para x_1=43: 9\cdot 43-466=387-466=-79, (-79)^2=6241.
  • Para x_2=47: 9\cdot47-466=423-466=-43, (-43)^2=1849.
  • Para x_3=48: 9\cdot48-466=432-466=-34, (-34)^2=1156.
  • Para x_4=51: 9\cdot51-466=459-466=-7, (-7)^2=49.
  • Para x_5=51: idem ao anterior, quadrado 49.
  • Para x_6=55: 9\cdot55-466=495-466=29, 29^2=841.
  • Para x_7=55: idem, 841.
  • Para x_8=57: 9\cdot57-466=513-466=47, 47^2=2209.
  • Para x_9=59: 9\cdot59-466=531-466=65, 65^2=4225.
Agora somo todos esses quadrados:
6241+1849+1156+49+49+841+841+2209+4225 = 17460.
Logo
\sum_{i=1}^{9}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{17460}{81}.
Calculo decimal dessa soma:
\frac{17460}{81}=215{,}555\ldots \quad(\text{ou }215+\tfrac{5}{9}).

Passo 6

Calcular a variância amostral s^{2}.
  • Usando a fórmula s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{17460}{81}.
  • Simplificando frações: s^{2}=\frac{17460}{81\cdot 8}=\frac{17460}{648}.Dividindo numerador e denominador por 12: s^{2}=\frac{1455}{54}.Dividindo por 3: s^{2}=\frac{485}{18}.
  • Em decimal: s^{2}=\frac{485}{18}\approx 26{,}944444\ldots
Portanto a variância amostral é s^{2}=\dfrac{485}{18}\approx 26{,}944 (pontos percentuais ao quadrado).

Passo 7

Calcular o desvio-padrão amostral s.
  • Aplicando a raiz quadrada: s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{485}{18}}\approx \sqrt{26{,}944444\ldots}\approx 5{,}191.
  • Interpretação: o desvio-padrão é cerca de 5{,}191 pontos percentuais: em média, a percentagem de gordura dos lanches de carne varia aproximadamente \pm 5{,}19 pontos percentuais em torno da média.

Passo 8

Calcular o coeficiente de variação (CV).
  • Fórmula: \text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%.
  • Substituindo os valores aproximados: \text{CV}\approx\frac{5{,}191}{51{,}777\ldots}\times100\%\approx 0{,}10026\times100\%\approx 10{,}03\%.
  • Interpretação: a dispersão relativa (desvio em relação à média) é cerca de 10{,}03\%, ou seja, o desvio-padrão corresponde a aproximadamente 10\% da média.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
  • Se pedirem variância sem especificar e os dados vierem de uma amostra, use n-1 no denominador (variância amostral).
  • Para cálculos à mão, usar a técnica de escrever os termos como frações (como fiz com 9x_i-466) evita trabalhar com números decimais repetidos.
  • Coeficiente de variação é útil para comparar dispersões entre variáveis com médias diferentes.

Resposta

\text{Variância (amostral)}\;s^{2}=\dfrac{485}{18}\approx 26{,}944â
\text{Desvio-padrão (amostral)}\;s\approx 5{,}191ã
\text{Coeficiente de variação}\;\text{CV}\approx 10{,}03\%çã

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