Os dados a seguir representam a percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne e frango, a partir de uma amostra em uma cadeia de lanchonetes:
Carne
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para a percentagem de gordura em lanches de carne.
Carne
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para a percentagem de gordura em lanches de carne.
Passo 1
O enunciado fornece os valores da percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne (amostra) e pede três coisas para essa amostra de carne:
- Dados (valores):
. - Calcular:
- a variância;
- o desvio-padrão;
- o coeficiente de variação da percentagem de gordura nos lanches de carne.
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vou usar (explicação didática).
- Como esses números vêm de uma amostra de lanches (não do universo inteiro), usamos as fórmulas amostrais padrão: variância amostral
e desvio-padrão amostral . Isso é o que normalmente se pede em provas quando não se diz que os dados representam toda a população. - Fórmula da média amostral (média aritmética):
onde são os valores da amostra e é o número de observações. - Fórmula da variância amostral (estimador não viciado):
onde corrige o viés (é o que se aprende em inferência estatística). - Fórmula do desvio-padrão amostral:
- Fórmula do coeficiente de variação (CV), que padroniza o desvio em relação à média:
Explicação rápida das variáveis:
é cada percentagem observada,
é a média das observações,
é o total de observações,
mede a dispersão média dos dados (em unidades ao quadrado),
é a dispersão na mesma unidade dos dados (aqui pontos percentuais) e CV é sem unidade (apresentado em porcentagem) que permite comparar dispersões relativas.
Passo 3
Calcular a média
.
- Primeiro soma dos valores:
- Número de observações:
- Assim a média é
(em notação exata , e aproximadamente ).
Passo 4
Preparar o cálculo das somas dos quadrados das diferenças
de forma exata e prática (truque algébrico útil para contas à mão).
- Como
, cada diferença pode ser escrita Portanto o quadrado da diferença é - Vou calcular para cada
o valor de e o seu quadrado (inteiros), somá-los e dividir por no final.
Passo 5
Cálculo dos termos
e seus quadrados (mostrando cada item).
- Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: idem ao anterior, quadrado . - Para
: , . - Para
: idem, . - Para
: , . - Para
: , .
Agora somo todos esses quadrados:
Logo
Calculo decimal dessa soma:
Passo 6
Calcular a variância amostral
.
- Usando a fórmula
- Simplificando frações:
Dividindo numerador e denominador por : Dividindo por : - Em decimal:
Portanto a variância amostral é
(pontos percentuais ao quadrado).
Passo 7
Calcular o desvio-padrão amostral
.
- Aplicando a raiz quadrada:
- Interpretação: o desvio-padrão é cerca de
pontos percentuais: em média, a percentagem de gordura dos lanches de carne varia aproximadamente pontos percentuais em torno da média.
Passo 8
Calcular o coeficiente de variação (CV).
- Fórmula:
- Substituindo os valores aproximados:
- Interpretação: a dispersão relativa (desvio em relação à média) é cerca de
, ou seja, o desvio-padrão corresponde a aproximadamente da média.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
- Se pedirem variância sem especificar e os dados vierem de uma amostra, use
no denominador (variância amostral). - Para cálculos à mão, usar a técnica de escrever os termos como frações (como fiz com
) evita trabalhar com números decimais repetidos. - Coeficiente de variação é útil para comparar dispersões entre variáveis com médias diferentes.