Os dados a seguir representam a percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de carne e frango, a partir de uma amostra em uma cadeia de lanchonetes:
Carne \rightarrow 43 ; 47 ; 48 ; 51 ; 51 ; 55 ; 55 ; 57 ; 59
Frango → 20; 22; 45; 46; 53; 54; 56; 57
Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para a percentagem de gordura em lanches de frango.

Passo 1

O enunciado dá os valores da percentagem de calorias provenientes de gordura em lanches de frango (amostra):
20,\;22,\;45,\;46,\;53,\;54,\;56,\;57.
O que se pede:
  • Calcular a variância para essa amostra de frango.
  • Calcular o desvio-padrão (amostral) correspondente.
  • Calcular o coeficiente de variação (em porcentagem) para essa amostra.

Passo 2

Decisão do método e fórmulas que vamos usar (explicando bem cada símbolo).
  • Como temos uma amostra de lanches, vamos calcular a variância amostral não viciada, que usa o denominador n-1. Isso é o que normalmente se exige quando os dados vêm de uma amostra e não do universo inteiro.
  • Média amostral: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui \bar{x} é a média, n é o tamanho da amostra e x_i são os valores observados.
  • Variância amostral (não-viciada): \displaystyle s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}. Aqui s^{2} é a variância amostral.
  • Fórmula computacional (mais prática para cálculos): \displaystyle s^{2}=\frac{1}{n-1}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-n\,\bar{x}^{2}\Biggr). Mesmos símbolos: \sum x_i^{2} é a soma dos quadrados das observações.
  • Desvio-padrão amostral: \displaystyle s=\sqrt{s^{2}}.
  • Coeficiente de variação: \displaystyle CV=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%. Dá a variabilidade relativa em percentagem.

Passo 3

Calcular n, a soma dos valores e a média \bar{x}.
  • O número de observações é n=8.
  • Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{8} x_i = 20+22+45+46+53+54+56+57 = 353.
  • Média:
\bar{x}=\frac{353}{8}=44,125.
Comentário rápido: \bar{x}=44,125 significa que, em média, os lanches de frango têm 44,125\% de calorias vindas de gordura.

Passo 4

Calcular \sum x_i^{2} (soma dos quadrados) de forma detalhada.
  • Quadrados individuais:
20^{2}=400,\;22^{2}=484,\;45^{2}=2025,\;46^{2}=2116,
53^{2}=2809,\;54^{2}=2916,\;56^{2}=3136,\;57^{2}=3249.
  • Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{8} x_i^{2} = 400+484+2025+2116+2809+2916+3136+3249 = 17135.

Passo 5

Aplicar a fórmula computacional da variância e fazer as contas passo a passo.
  • Primeiro calcule n\,\bar{x}^{2}. Já temos \bar{x}=44,125, então
\bar{x}^{2}=44,125^{2}=1947,015625,
n\,\bar{x}^{2}=8\times1947,015625=15576,125.
  • Agora a diferença \sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}:
17135-15576,125=1558,875.
  • Dividir por n-1=7 para obter a variância amostral:
s^{2}=\frac{1558,875}{7}=222,696428571\ldots
Arredondando de forma sensata, podemos usar três casas decimais:
s^{2}\approx222,696\\ (\%\!^{2}).
Observação didática: a variância tem unidade “porcentagem ao quadrado” ( \%\!^{2}), porque são quadrados das diferenças em porcentagem.

Passo 6

Calcular o desvio-padrão amostral s.
  • Definição: s=\sqrt{s^{2}}.
  • Tomando raiz de s^{2}=222,696428571\ldots,
s=\sqrt{222,696428571\ldots}\approx14,9232143\ldots
Arredondando:
s\approx14,923\\ (\%).
Comentário: o desvio-padrão tem a mesma unidade da média ( \%), então é mais diretamente interpretável.

Passo 7

Calcular o coeficiente de variação CV e interpretar.
  • Fórmula: CV=\dfrac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
  • Substituindo os valores:
CV=\frac{14,9232143\ldots}{44,125}\times100\%\approx33,82032\ldots\%.
Arredondando a duas casas decimais (prática comum para percentuais):
CV\approx33,82\%.
Interpretação rápida (amigável): o CV de cerca de 33,82\% indica que o desvio-padrão é aproximadamente um terço da média — há variabilidade moderada/alta relativa à média.

Passo 8

Resumo numérico (pronto para checar e levar para a prova):
  • Variância amostral (não-viciada) s^{2}\approx222,696\\ \%\!^{2}.
  • Desvio-padrão amostral s\approx14,923\\ \%.
  • Coeficiente de variação CV\approx33,82\%.

Resposta

\displaystyle s^{2}=222,696\\ \%\!^{2}
\displaystyle s=14,923\\ \%
\displaystyle CV=33,82\%

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