Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo j omega,
G(s)=K(s+1)^3(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente esboçar e refinar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) do sistema em malha aberta
G(s)=K(s+1)^3(s+4)
e, em especial, ver se rolam cruzamentos do eixo .
Isso é conteúdo de LGR: a gente precisa montar a equação característica , encontrar a condição para ter pólos imaginários puros (ou seja, ), e daí ver pra quais valores de e isso acontece.

Passo 2

Escrevendo a equação característica:
1 + K,1(s+1)^3(s+4) = 0 Longrightarrow (s+1)^3(s+4) + K = 0
Vamos expandir (s+1)^3 = s^3 + 3s^2 +3s +1, (s+1)^3(s+4) = s^4 +7s^3 +15s^2 +13s +4 :
s^4 +7s^3 +15s^2 +13s + (4+K) ;=;0
Logo o polinômio característico é

Passo 3

Para achar cruzamentos no eixo (jomega)^4 +7(jomega)^3 +15(jomega)^2 +13(jomega)+4+K = 0 , substituímos (jomega)^4 = omega^4, 7(jomega)^3 = -7,j,omega^3, 15(jomega)^2 = -15,omega^2, 13(jomega)=13,j,omega e separamos parte real e imaginária:
l(omega^4 -15omega^2 +4+Kr) ;+;jl(13omega -7omega^3r) ;=;0
Calculando termo a termo:
Então

Passo 4

Igualando partes real e imaginária a zero, temos:
  1. parte real: 13 -7omega^2 = 0 Longrightarrow omega^2 = tfrac137 Longrightarrow omega = pmraiztfrac137 ,
  2. parte imag: .
Da parte imaginária, sai (trivial) ou

Passo 5

Com omega^4 = l(tfrac137r)^2 = tfrac16949, 15omega^2 = 15cdottfrac137 = tfrac1957 , voltamos na parte real pra achar K = -omega^4 +15omega^2 -4 = -tfrac16949 + tfrac1957 -4 = tfrac-169 +1365 -19649 = tfrac100049 :
Logo

Resposta

Sim, existe cruzamento do eixo s = pm jraiztfrac137 . Ele ocorre em
K = 100049approx 20,41
quando o ganho vale

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