Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo
,
e) Os cruzamentos do eixo
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente esboçar e refinar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) do sistema em malha aberta
e, em especial, ver se rolam cruzamentos do eixo
.
Isso é conteúdo de LGR: a gente precisa montar a equação característica , encontrar a condição para ter pólos imaginários puros (ou seja,
), e daí ver pra quais valores de
e
isso acontece.
Isso é conteúdo de LGR: a gente precisa montar a equação característica
Passo 2
Escrevendo a equação característica:
Vamos expandir
:
Logo o polinômio característico é
Passo 3
Para achar cruzamentos no eixo
, substituímos
e separamos parte real e imaginária:
Calculando termo a termo:
Então
Passo 4
Igualando partes real e imaginária a zero, temos:
- parte real:
, - parte imag:
.
Da parte imaginária, sai
(trivial) ou
Passo 5
Com
, voltamos na parte real pra achar
:
Logo
Resposta
Sim, existe cruzamento do eixo
. Ele ocorre em
quando o ganho vale