Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
a) Pontos de início e de término;
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) do sistema
Isso é assunto de Controle Clássico: pra desenhar o lugar das raízes a gente vai precisar descobrir polos, zeros, ver quais trechos do eixo real pertencem ao locus, achar assíntotas e, no final, os pontos de início (polos) e de término (zeros finitos e infinitos).
Passo 2
Vamos encontrar polos e zeros de
:
- Polos: vêm do denominador
, logo
2. Zeros: vêm de. A fórmula de Bhaskara dá
$$s=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot20}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-80}}{2} =2\pm j4\,. $$
Então temos 3 polos reais (−2, −4, −6) e 2 zeros complexos (2±4j).
Passo 3
Start e end points do root locus:
- Pontos de início = polos quando
:
- Pontos de término = zeros finitos quandomais ramos que vão para o infinito. Aqui temos 3 polos e 2 zeros finitos, logo ramo vai para o infinito.
E os outros 2 ramos terminam em
.
Passo 4
Trechos do eixo real onde o LGR existe: testar um ponto em cada intervalo e contar quantos polos+zeros estão à direita:
- Para
(por ex. em ): há 3 polos à direita ⇒ 3 é ímpar ⇒ locus existe em . - Entre
e (por ex. em ): há 2 polos à direita ⇒ 2 é par ⇒ sem locus. - Entre
e (por ex. em ): há 1 polo à direita ⇒ 1 é ímpar ⇒ locus existe em . - Para
não há mais intervalos relevantes (zeros complexos não geram trecho real).
Passo 5
Assíntota (apenas uma, porque
):
- Centroide
- Ângulo
Então o único ramo que vai ao infinito segue uma reta a 180° (direção negativa real) com centroide em
.
Resposta
Início em
; término em
(dois ramos) e um ramo vai ao infinito pela assíntota de ângulo
com centroide em
. No eixo real os trechos do locus são
e
.