Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)(s+6)

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) do sistema
G(s)=K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4)(s+6),
Isso é assunto de Controle Clássico: pra desenhar o lugar das raízes a gente vai precisar descobrir polos, zeros, ver quais trechos do eixo real pertencem ao locus, achar assíntotas e, no final, os pontos de início (polos) e de término (zeros finitos e infinitos).

Passo 2

Vamos encontrar polos e zeros de s=-2,;-4,;-6, :
  1. Polos: vêm do denominador s=4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot202 =4pmraiz16-802 =2pm j4, , logo
    2. Zeros: vêm de . A fórmula de Bhaskara dá
    $$s=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot20}}{2}
     =\frac{4\pm\sqrt{16-80}}{2}
     =2\pm j4\,. $$
    
Então temos 3 polos reais (−2, −4, −6) e 2 zeros complexos (2±4j).

Passo 3

Start e end points do root locus:
  • Pontos de início = polos quando s=-2,;s=-4,;s=-6:
    - Pontos de término = zeros finitos quando mais ramos que vão para o infinito. Aqui temos 3 polos e 2 zeros finitos, logo ramo vai para o infinito.
E os outros 2 ramos terminam em .

Passo 4

Trechos do eixo real onde o LGR existe: testar um ponto em cada intervalo e contar quantos polos+zeros estão à direita:
  • Para (por ex. em ): há 3 polos à direita ⇒ 3 é ímpar ⇒ locus existe em .
  • Entre e (por ex. em ): há 2 polos à direita ⇒ 2 é par ⇒ sem locus.
  • Entre e (por ex. em ): há 1 polo à direita ⇒ 1 é ímpar ⇒ locus existe em .
  • Para não há mais intervalos relevantes (zeros complexos não geram trecho real).

Passo 5

Assíntota (apenas uma, porque sigmaa=sumrm polos-sumrm zerosnp-nz =(-2)+(-4)+(-6)-(2+2)1 =-16):
  • Centroide theta=(2k+1),180^circ1=180^circ(k=0)
  • Ângulo
Então o único ramo que vai ao infinito segue uma reta a 180° (direção negativa real) com centroide em .

Resposta

Início em ; término em (dois ramos) e um ramo vai ao infinito pela assíntota de ângulo com centroide em . No eixo real os trechos do locus são e .

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