Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
G(s)=K(s+1)^3(s+4)

Passo 1

Beleza, temos um sistema em malha aberta dado por
G(s)=K(s+1)^3(s+4)
A matéria é Lugar Geométrico das Raízes (LGR), aí a gente quer descobrir onde os polos fechados começam (quando ) e onde eles vão terminar (quando ). Para isso a gente precisa:
1) Listar polos e zeros do .
2) Lembrar que todo ramo do LGR sai de um polo e termina num zero (finito ou no infinito).

Passo 2

Encontrando polos e zeros de s=-1(três ramos), s=-4(um ramo) :
  • Polos são as raízes do denominador :
    • um polo triplo em
    • um polo simples em
  • Zeros são as raízes do numerador. Como o numerador é só a constante , não há zeros finitos.
Logo, quando (início do LGR) cada ramo parte de um desses polos. Como total de polos e zeros , temos 4 ramos que começam em:
ê

Passo 3

Agora, pra onde esses ramos vão? Como não há zeros finitos ( thetak = (2k+1)pin-m = (2k+1)pi4, k=0,1,2,3, ), todos os 4 ramos terminam em “zeros no infinito”. Para visualizar melhor esses pontos de término usamos as assimptotas do LGR. O número de assimptotas é e suas direções são dadas por
ou seja, ângulos em 45°, 135°, 225° e 315°. Isso significa que, conforme , cada ramo vai “escapar” para o infinito seguindo uma dessas direções.

Resposta

Início do LGR (pontos de partida):
  • (três ramos)
  • (um ramo)
Término do LGR (pontos de chegada):
  • Não há zeros finitos, então todos os 4 ramos vão para o infinito.
  • Eles seguem as 4 assimptotas com ângulos , .

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