Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo
,
e) Os cruzamentos do eixo
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente ver se o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) do sistema
cruza o eixo imaginário (ou seja, se existe
que satisfaz
).
Conteúdo: LGR e teste de cruzamento no eixo .
O que vamos usar:
Conteúdo: LGR e teste de cruzamento no eixo
O que vamos usar:
- A equação característica
. - Substituir
. - Separar parte real e imaginária e fazer igual a zero.
Passo 2
Escrevendo a característica:
Esse polinômio igual a zero define onde as raízes estão.
Passo 3
Agora coloca
. A gente expande
E também
Passo 4
Somando as partes real e imaginária dá:
Real:
Imaginário: .
Real:
Imaginário:
Passo 5
Da parte imaginária:
.
Descartamos (não é “cruzamento” em frequência nula), então
Descartamos
Passo 6
Da parte real:
Igualando as duas expressões de
:
Resolvendo isso dá
Só faz sentido pegar
, logo
Então
Resposta
O LGR cruza o eixo
em
quando o ganho vale