Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo j omega,
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)(s+6)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) do sistema
G(s)=K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4)(s+6)
cruza o eixo imaginário (ou seja, se existe que satisfaz ).
Conteúdo: LGR e teste de cruzamento no eixo .
O que vamos usar:
  • A equação característica .
  • Substituir .
  • Separar parte real e imaginária e fazer igual a zero.

Passo 2

Escrevendo a característica:
1+G(s)=0Longrightarrow (s+2)(s+4)(s+6)+K,(s^2-4s+20)=0
Esse polinômio igual a zero define onde as raízes estão.

Passo 3

Agora coloca (jomega+2)(jomega+4)(jomega+6)=(-12omega^2+48)+j(-omega^3+44omega). A gente expande
Kl((jomega)^2-4jomega+20r)=Kl(-omega^2+20r)+j(-4K,omega)
E também

Passo 4

Somando as partes real e imaginária dá:
Real:
Imaginário: .

Passo 5

Da parte imaginária:
omega^2 = 44 - 4K.
Descartamos (não é “cruzamento” em frequência nula), então

Passo 6

Da parte real:
-(12+K),omega^2 + 48 +20K =0;Longrightarrow;omega^2=48+20K12+K
Igualando as duas expressões de 48+20K12+K=44-4K:
K^2 + 6K -120=0 ;Longrightarrow; K = -3 pm raiz129
Resolvendo isso dá
K approx -3 + raiz129approx 8,36
Só faz sentido pegar omega^2 = 44 - 4cdot8,36 approx 10,57 ;Longrightarrow; omega approx 3,25 , logo
Então

Resposta

O LGR cruza o eixo s = pm j,3,25 em
K approx 8,36
quando o ganho vale

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