Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo
,
e) Os cruzamentos do eixo
Passo 1
Então, manda ver: a gente tem um sistema em malha aberta
G(s) =
e o objetivo é esboçar/refinar o Lugar Geométrico das Raízes e, em particular, descobrir se existem cruzamentos no eixo .
Matéria envolvida: Lugar das Raízes (Root Locus). Para isso, vamos usar a equação característica do laço fechado
G(s) =
e o objetivo é esboçar/refinar o Lugar Geométrico das Raízes e, em particular, descobrir se existem cruzamentos no eixo
Matéria envolvida: Lugar das Raízes (Root Locus). Para isso, vamos usar a equação característica do laço fechado
e substituir
, separar em parte real e imaginária e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica:
Agora, para achar cruzamentos no eixo imaginário, colocamos
.
Passo 3
Substituindo
:
- Calcular
:
- Calcular
em :
Logo a equação vira
Passo 4
Agora separamos real e imaginário:
Parte real:
Parte real:
Parte imaginária:
Para cruzamento não-trivial precisamos
, então
Com
, voltamos à parte real:
Logo
Resposta
Existe cruzamento do Lugar das Raízes no eixo
quando
nos pontos