Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
e) Os cruzamentos do eixo j omega,
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)

Passo 1

Então, manda ver: a gente tem um sistema em malha aberta
G(s) = 1 + G(s) = 0
e o objetivo é esboçar/refinar o Lugar Geométrico das Raízes e, em particular, descobrir se existem cruzamentos no eixo .
Matéria envolvida: Lugar das Raízes (Root Locus). Para isso, vamos usar a equação característica do laço fechado
e substituir , separar em parte real e imaginária e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica:
1 + K,(s^2 - 4s + 20)(s+2)(s+4) = 0 Longrightarrow (s+2)(s+4) + K,(s^2 - 4s + 20) = 0
Agora, para achar cruzamentos no eixo imaginário, colocamos .

Passo 3

Substituindo (jomega+2)(jomega+4) = (jomega)^2 +6,jomega + 8 = -omega^2 + 6jomega + 8 :
  1. Calcular (jomega)^2 - 4,(jomega) + 20 = -omega^2 - 4jomega + 20 :
[-omega^2 + 8] + 6jomega ;+; Kl[-omega^2 + 20 - 4jomegar] ;=;0
  1. Calcular em :
Logo a equação vira

Passo 4

Agora separamos real e imaginário:
Parte real:
-omega^2 + 8 ;+; K(-omega^2 + 20) ;=; 0
Parte imaginária:
6omega ;+; K(-4omega) ;=; 0 Longrightarrow omega,(6 - 4K) = 0
Para cruzamento não-trivial precisamos 6 - 4K = 0 Longrightarrow K = 64 = 1,5 , então
-omega^2 + 8 + 1,5,(-omega^2 + 20) = 0 ;Longrightarrow; -,omega^2 + 8 - 1,5,omega^2 + 30 = 0 ;Longrightarrow; -2,5,omega^2 + 38 = 0 ;Longrightarrow; omega^2 = 382,5 = 15,2
Com omega = pmraiz15,2 approx pm 3,898 , voltamos à parte real:
Logo

Resposta

Existe cruzamento do Lugar das Raízes no eixo K = 1,5, quando
s = j,3,898 e s = -,j,3,898
nos pontos

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