Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente esboçar e refinar o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) do sistema em malha aberta
G(s)=K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4)
Conteúdo: teoria de Lugar das Raízes em Controle Clássico.
O que vamos precisar:
  • Saber encontrar polos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador).
  • Entender a regra básica de que cada ramo do root locus “parte” de um polo e “vai” para um zero (finito ou infinito).

Passo 2

Primeiro, localizamos os polos e os zeros:
  1. Polos são soluções de s = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot202 = 4 pm raiz16 - 802 = 4 pm j,82 = 2 pm j4 :
    • polo
    • polo
  2. Zeros são soluções de . Usando a fórmula de Bhaskara: Ou seja, temos dois zeros complexos: e .

Passo 3

Agora, a regra-mor do Lugar das Raízes dice:
  • Cada ramo “começa” em um polo (quando ).
  • Cada ramo “termina” em um zero finito (se houver) ou segue para um zero em .
    Aqui temos 2 polos e 2 zeros finitos, então:
    • Os ramos começam exatamente em e .
    • E terminam exatamente em e , conforme .

Resposta

Ramos do root locus:
Início (polos): e
Término (zeros): e

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