Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
G(s)=K(s+1)^3(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: para o sistema em malha aberta
G(s)=K(s+1)^3,(s+4),
a gente quer esboçar o Lugar Geométrico das Raízes e, em particular, achar os ângulos de partida dos polos quando eles “voam” para o plano complexo.
Conteúdo envolvido: teoria de Lugar das Raízes (root locus), polos repetidos e fórmula de ângulos de partida. Vamos precisar:
- Listar polos e zeros.
- Entender que quando um polo tem multiplicidade m>1, suas “saídas” têm ângulos dados por uma fórmula.

Passo 2

Primeiro, anotamos polos e zeros:
• Zeros: nenhum.
• Polos: s=-1 com multiplicidade 3 e s=-4 simples.
Como não tem zero, temos 4 ramos (um pra cada polo) que saem dos polos e vão, no infinito, para zeros no infinito. Os polos repetidos em s=-1 geram 3 ramos saindo dali.

Passo 3

Teoria dos ângulos de partida para polos repetidos:
Quando um polo p0 tem multiplicidade m, existem m ramos saindo desse ponto, e seus ângulos iniciais (em relação ao eixo real positivo) são dados por
phik ;=;(2k+1),180^circm,, k=0,1,dots,m-1
Isso vem da condição de fase do Lugar das Raízes, aplicada num ponto em que vários polos se “combinam”.

Passo 4

Aplicando para m=3 (o polo triplo em s=-1):
  • Para k=0: phi0=(2cdot0+1),180^circ3=180^circ3=60^circ
    - Para k=1:
    phi1=(2cdot1+1),180^circ3=3cdot180^circ3=180^circ
  • Para k=2: phi2=(2cdot2+1),180^circ3=5cdot180^circ3=300^circ(ou -60^circ)
Desse modo, dos três ramos que saem de s=-1, um vai para a esquerda no eixo real ( 180^circ) e dois partem para o plano complexo com ângulos de +60^circ e -60^circ.

Resposta

Os ângulos de partida dos ramos que vão para o plano complexo são +60° e –60°.

Exercícios relacionados