Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: para o sistema em malha aberta
a gente quer esboçar o Lugar Geométrico das Raízes e, em particular, achar os ângulos de partida dos polos quando eles “voam” para o plano complexo.
Conteúdo envolvido: teoria de Lugar das Raízes (root locus), polos repetidos e fórmula de ângulos de partida. Vamos precisar:
- Listar polos e zeros.
- Entender que quando um polo tem multiplicidade
Passo 2
Primeiro, anotamos polos e zeros:
• Zeros: nenhum.
• Polos: com multiplicidade 3 e
simples.
• Zeros: nenhum.
• Polos:
Como não tem zero, temos 4 ramos (um pra cada polo) que saem dos polos e vão, no infinito, para zeros no infinito. Os polos repetidos em
geram 3 ramos saindo dali.
Passo 3
Teoria dos ângulos de partida para polos repetidos:
Quando um polo tem multiplicidade
, existem
ramos saindo desse ponto, e seus ângulos iniciais (em relação ao eixo real positivo) são dados por
Quando um polo
Isso vem da condição de fase do Lugar das Raízes, aplicada num ponto em que vários polos se “combinam”.
Passo 4
Aplicando para
(o polo triplo em
):
- Para
:
- Para:
- Para
:
Desse modo, dos três ramos que saem de
, um vai para a esquerda no eixo real (
) e dois partem para o plano complexo com ângulos de
e
.
Resposta
Os ângulos de partida dos ramos que vão para o plano complexo são +60° e –60°.