Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
b) Segmentos no eixo real;
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente esboçar e refinar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR) de
G(s)=K,(s^2 - 4s + 20)(s+2)(s+4)
mais especificamente detectar quais trechos do eixo real fazem parte do LGR.
Conteúdo: teoria de Lugar das Raízes, em particular a regra de “número ímpar de polos e zeros à direita” para identificar segmentos no eixo real.

Passo 2

Primeiro a gente acha polos e zeros:
  • Polos são raízes do denominador De, logo e .
  • Zeros são raízes de . A gente calcula o discriminante:
Ou seja, não há zeros reais (são complexos ).

Passo 3

Agora dividimos o eixo real em regiões separadas pelos polos:
Para cada região, escolhemos um ponto teste e contamos quantos polos+zeros reaís estão à direita dele. Se esse número for ímpar, o LGR passa ali.

Passo 4

Vamos contar:
  1. Em , à direita vêm os polos em e , total 2 (par) → não está no LGR.
  2. Em , à direita só vem o polo em , total 1 (ímpar) → está no LGR.
  3. Em , à direita não há polos nem zeros reais, total 0 (par) → não está no LGR.

Resposta

O Lugar Geométrico das Raízes possui exatamente o segmento do eixo real entre e .

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