Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
b) Segmentos no eixo real;
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)(s+6)

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente olhar o sistema em malha aberta

e descobrir em quais pedaços do eixo real (se é que existem) o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) vai ficar. Isso é parte de Controle Clássico, mais especificamente análise de Lugar das Raízes. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Encontrar polos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador).
  2. Usar a regra básica de que no eixo real o RL existe onde o número de polos+zeros à direita do ponto for ímpar.

Passo 2

Primeiro, achamos poles e zeros:
  • Polos: resolvemos .
  • Zeros: resolvemos . Aí o discriminante é , negativo. Ou seja, não há zeros reais (são complexos conjugados).

Passo 3

Agora dividimos o eixo real em intervalos entre esses polos:
até , depois a , depois a e finalmente até .

Passo 4

Aplicamos a regra do Lugar das Raízes no eixo real:
“Um ponto real pertence ao RL se o número de polos +\ zeros à direita dele for ímpar.”
Vamos contar para cada intervalo:
  1. Intervalo :
    Polos à direita de um ponto aí são → total 3 (ímpar) → existe RL.
  2. Intervalo :
    Polos à direita são → total 2 (par) → não existe RL.
  3. Intervalo :
    Polos à direita são só → total 1 (ímpar) → existe RL.
  4. Intervalo :
    Nenhum polo à direita → total 0 (par) → não existe RL.

Resposta

Os segmentos do eixo real onde o Lugar Geométrico das Raízes existe são:
(-infty,,-6) e (-4,,-2)

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