Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
b) Segmentos no eixo real;
b) Segmentos no eixo real;
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente olhar o sistema em malha aberta
e descobrir em quais pedaços do eixo real (se é que existem) o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) vai ficar. Isso é parte de Controle Clássico, mais especificamente análise de Lugar das Raízes. Para resolver, a gente vai precisar:
e descobrir em quais pedaços do eixo real (se é que existem) o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) vai ficar. Isso é parte de Controle Clássico, mais especificamente análise de Lugar das Raízes. Para resolver, a gente vai precisar:
- Encontrar polos (raízes do denominador) e zeros (raízes do numerador).
- Usar a regra básica de que no eixo real o RL existe onde o número de polos+zeros à direita do ponto for ímpar.
Passo 2
Primeiro, achamos poles e zeros:
- Polos: resolvemos
→ . - Zeros: resolvemos
. Aí o discriminante é , negativo. Ou seja, não há zeros reais (são complexos conjugados).
Passo 3
Agora dividimos o eixo real em intervalos entre esses polos:
até
, depois
a
, depois
a
e finalmente
até
.
Passo 4
Aplicamos a regra do Lugar das Raízes no eixo real:
“Um ponto real pertence ao RL se o número de polos +\ zeros à direita dele for ímpar.”
“Um ponto real
Vamos contar para cada intervalo:
-
Intervalo
:
Polos à direita de um ponto aí são→ total 3 (ímpar) → existe RL. -
Intervalo
:
Polos à direita são→ total 2 (par) → não existe RL. -
Intervalo
:
Polos à direita são só→ total 1 (ímpar) → existe RL. -
Intervalo
:
Nenhum polo à direita → total 0 (par) → não existe RL.
Resposta
Os segmentos do eixo real onde o Lugar Geométrico das Raízes existe são: