Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
,
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
Passo 1
Beleza, vamos de boa: o enunciado pede o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) de
G(s)=K·(s²−4s+20)/((s+2)(s+4)(s+6)).
Conteúdo: teoria de Root Locus – polos e zeros, segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de saída/entrada, cruzamento com jω e ângulos de partida/chegada.
Para resolver a gente vai (1) achar polos e zeros; (2) ver onde está no real; (3) achar assíntotas no infinito; (4) calcular break-away/in; (5) ver cruzamento em jω usando Routh; (6) achar ângulos de partida (se tiver polos complexos) e de chegada (nos zeros complexos).
G(s)=K·(s²−4s+20)/((s+2)(s+4)(s+6)).
Conteúdo: teoria de Root Locus – polos e zeros, segmentos no eixo real, assíntotas, pontos de saída/entrada, cruzamento com jω e ângulos de partida/chegada.
Para resolver a gente vai (1) achar polos e zeros; (2) ver onde está no real; (3) achar assíntotas no infinito; (4) calcular break-away/in; (5) ver cruzamento em jω usando Routh; (6) achar ângulos de partida (se tiver polos complexos) e de chegada (nos zeros complexos).
Passo 2
Identificar polos e zeros
- Polos: raízes de (s+2)(s+4)(s+6)=0 ⇒ s=−2, −4, −6 (todos reais).
- Zeros: raízes de s²−4s+20=0 ⇒ s=2±j4 (dois zeros complexos).
No root locus, cada ramo parte de um polo e vai para um zero (ou para infinito, se sobrar). Aqui temos 3 polos e 2 zeros ⇒ um ramo vai para ∞.
Passo 3
Segmentos no eixo real
Em qualquer ponto real s=x, o locus existe se o número de polos+zeros “à direita” de x for ímpar.
Em qualquer ponto real s=x, o locus existe se o número de polos+zeros “à direita” de x for ímpar.
- x<−6 ⇒ 3 polos à direita ⇒ ímpar ⇒ locus existe em (−∞,−6)
- −6<x<−4 ⇒ 2 polos à direita ⇒ par ⇒ não
- −4<x<−2 ⇒ 1 polo à direita ⇒ ímpar ⇒ locus existe em (−4,−2)
- x>−2 ⇒ 0 ⇒ par ⇒ não
Passo 4
Assíntotas (comportamento em ∞)
Número de assíntotas = n−m =3−2=1.
Fórmula do ângulo:
Número de assíntotas = n−m =3−2=1.
Fórmula do ângulo:
Centroid (σ_A):
$$σ_A=\frac{\sumpolos−\sumzeros}{n-m}
=\frac{(−2−4−6)−(2+2)}{1}=\frac{−12−4}{1}=−16$$
Logo há uma assíntota em 180° passando por σ=−16.
Logo há uma assíntota em 180° passando por σ=−16.
Passo 5
Pontos de break-away (saída) e break-in (entrada)
A gente faz dK/ds=0 em
A gente faz dK/ds=0 em
Leva à equação quartica
Dela tiramos duas raízes reais nos intervalos onde há root locus:
aprox. s≈−5.02 (entre −6 e −4) e s≈−2.77 (entre −4 e −2).
aprox. s≈−5.02 (entre −6 e −4) e s≈−2.77 (entre −4 e −2).
Passo 6
Cruzamento com o eixo jω
Aplicamos Routh na característica
Aplicamos Routh na característica
$$1+K;G(s)=0
\iff s3+(12+K)s2+(44−4K)s+(48+20K)=0
\omega=\sqrt{\frac{48+20K}{12+K}}\bigg|_{K=8.36}\approx3.25\ \mathrm{rad/s}$$
Passo 7
Ângulos de partida dos polos complexos
Aqui todos os polos são reais ⇒ não há “partida” em ângulo de polos complexos.
Aqui todos os polos são reais ⇒ não há “partida” em ângulo de polos complexos.
Passo 8
Ângulos de chegada nos zeros complexos
Regra geral: num zero ,
No zero :
Regra geral: num zero
No zero
- ângulo do outro zero (2−j4) → +90°
- ângulos dos 3 polos em relação a
→ aprox. 225°, 213.7°, 206.6°
Total polos ≃645.3° → módulo 360° =285.3°
Fazendo
$$\phi_{\rm chegada}
=180°-285.3°+90°\approx-15.3°;(mod360°)\approx344.7°$$
Ou seja, o ramo entra no zero com ângulo em torno de ±15° (dependendo do “m” que você escolher no ).
Ou seja, o ramo entra no zero com ângulo em torno de ±15° (dependendo do “m” que você escolher no
Resposta
a) Pontos de início: polos em s=−2,−4,−6. Ponto de término: zeros em s=2±j4 (2 ramos) e ∞ (1 ramo).
b) Segmentos no real: (−∞,−6) e (−4,−2).
c) Assíntota única em 180° com centróide em σ=−16.
d) Break-away/-in em s≈−5.02 e s≈−2.77.
e) Cruzamento jω em ω≈3.25 rad/s, para K≈8.36.
f) Como os polos são reais, não há ângulos de partida de polos complexos.
g) Ângulos de chegada nos zeros complexos ≈±15° (ex.: ≃344.7° ou −15.3°).
b) Segmentos no real: (−∞,−6) e (−4,−2).
c) Assíntota única em 180° com centróide em σ=−16.
d) Break-away/-in em s≈−5.02 e s≈−2.77.
e) Cruzamento jω em ω≈3.25 rad/s, para K≈8.36.
f) Como os polos são reais, não há ângulos de partida de polos complexos.
g) Ângulos de chegada nos zeros complexos ≈±15° (ex.: ≃344.7° ou −15.3°).