Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
c) Comportamento no Infinito;
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)(s+6)

Passo 1

Beleza, o exercício é de Lugar Geométrico das Raízes (LGR). A gente quer descobrir o comportamento dos ramos quando o ganho cresce muito, ou seja, o “comportamento no infinito”. Para isso vamos precisar:
  1. identificar polos e zeros do sistema
  2. aplicar as fórmulas do LGR para achar quantas assimptotas vão para o infinito, seus ângulos e o centroide

Passo 2

Primeiro, achamos polos e zeros de
G(s)=K,(s^2-4s+20)(s+2)(s+4)(s+6)
  • Zeros são as raízes de s = 4 pm raiz(-4)^2 -4cdot1cdot202 = 4 pm raiz16-802 = 2 pm 4j . Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
  • Polos são .

Passo 3

O número de assimptotas que o LGR tem é
npolos - nzeros = 3 - 2 = 1
Ou seja, só um ramo vai para o infinito quando .

Passo 4

O ângulo das assimptotas é dado por
thetak = (2k+1),180^circnpolos-nzeros,
com theta0 = 1cdot180^circ1 = 180^circ . Como , temos só
Isso significa que o ramo parte para a esquerda ao longo do eixo real.

Passo 5

O centroide (ponto de encontro das assimptotas no eixo real) é
sigmaa = sum polos - sum zerosnpolos-nzeros = (-2)+(-4)+(-6) ;-;(2+2)1 = -12-41 = -16

Resposta

No infinito o LGR tem 1 assimptota saindo em (para a esquerda) a partir do ponto no eixo real.

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