Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo j omega,
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
G(s)=K(s+1)^3(s+4)

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é traçar o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) do sistema
G(s)=K(s+1)^3,(s+4)
Isso faz parte de Análise de Sistemas em Tempo Contínuo e realimentação.
Para resolver você vai precisar:
  1. Saber que o Lugar das Raízes mostra onde (“start” e “end”) os polos fechados vão quando varia de 0 a .
  2. Entender que:
    • Os pontos de início são os polos de malha aberta.
    • Os pontos de término são os zeros finitos e “zeros no infinito” (asintotas).
    • Em porções do eixo real só há LGR onde há número ímpar de polos à direita.
    • Na parte imaginária a gente usa Routh para achar cruzamentos.
    • Pontos de saída/entrada no real são os tal “breakpoints” (dK/ds=0).
    • As assimptotas e ângulos vêm da diferença .

Passo 2

a) Pontos de início e de término
– Início (quando ): polos em (triplo) e .
– Término (quando ): não há zeros finitos, então há 4 “zeros no infinito”.

Passo 3

b) Segmentos no eixo real
Regra: o LGR fica num trecho real se, num ponto qualquer ali, há número ímpar de polos+zeros à sua direita.
– Para : há 4 polos à direita → par → sem LGR.
– Entre e : há 3 polos à direita → ímpar → LGR existe.
– Para : 0 polos à direita → par → sem LGR.
Logo, só existe locus real em .

Passo 4

c) Comportamento no infinito (assimptotas)
Temos 4 polos, 0 zeros → 4 assimptotas.
– Centroide: .
– Ângulos das assimptotas:

ou em graus: .

Passo 5

d) Pontos de saída/entrada no eixo real (breakpoints)
Para achar onde o RL “quebra” ou “reentra” no real, derivamos
K(s)=-,(s+1)^3(s+4)
e fazemos dds[(s+1)^3(s+4)] =(s+1)^2,(4s+13)=0 .
(polo repetido) e .
O único break real de interesse em é
.

Passo 6

e) Cruzamentos do eixo 1+K,1(s+1)^3(s+4)=0 ;Longrightarrow; (s+1)^3(s+4)+K=0
A equação característica é
K=1437approx20,4286
Expandindo e aplicando Routh, encontramos que a linha de s=pm j,omega, omega=raiz4+K927 =raiz24,428613,1429approx1,364 zera quando
e o par de polos cruzam em
Então cruzamento em para .

Passo 7

f) Ângulos de partida dos polos complexos
Na verdade aqui não há polos complexos de malha aberta (são todos reais), mas duas raízes saem em complexos a partir do break em .
Como é um break de duas raízes (multiplicidade 2), os ramos partem com

respectivamente.

Passo 8

g) Ângulos de chegada dos zeros complexos
Não há zeros finitos, então as “chegadas” acontecem no infinito pelas assimptotas.
São os ângulos

Resposta

a) Início em (triplo) e ; término em 4 zeros no infinito.
b) Somente no eixo real entre e .
c) 4 assimptotas com centroide em e ângulos .
d) Break real em .
e) Cruzamento em para .
f) Partida dos ramos complexos em a partir de .
g) Chegada nos zeros no infinito segundo as assimptotas acima.

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