Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
,
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é traçar o Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) do sistema
Isso faz parte de Análise de Sistemas em Tempo Contínuo e realimentação.
Para resolver você vai precisar:
Para resolver você vai precisar:
- Saber que o Lugar das Raízes mostra onde (“start” e “end”) os polos fechados vão quando
varia de 0 a . - Entender que:
- Os pontos de início são os polos de malha aberta.
- Os pontos de término são os zeros finitos e “zeros no infinito” (asintotas).
- Em porções do eixo real só há LGR onde há número ímpar de polos à direita.
- Na parte imaginária a gente usa Routh para achar cruzamentos.
- Pontos de saída/entrada no real são os tal “breakpoints” (dK/ds=0).
- As assimptotas e ângulos vêm da diferença
.
Passo 2
a) Pontos de início e de término
– Início (quando ): polos em
(triplo) e
.
– Término (quando ): não há zeros finitos, então há 4 “zeros no infinito”.
– Início (quando
– Término (quando
Passo 3
b) Segmentos no eixo real
Regra: o LGR fica num trecho real se, num ponto qualquer ali, há número ímpar de polos+zeros à sua direita.
– Para : há 4 polos à direita → par → sem LGR.
– Entre e
: há 3 polos à direita → ímpar → LGR existe.
– Para : 0 polos à direita → par → sem LGR.
Logo, só existe locus real em .
Regra: o LGR fica num trecho real se, num ponto qualquer ali, há número ímpar de polos+zeros à sua direita.
– Para
– Entre
– Para
Logo, só existe locus real em
Passo 4
c) Comportamento no infinito (assimptotas)
Temos 4 polos, 0 zeros → 4 assimptotas.
– Centroide: .
– Ângulos das assimptotas:
ou em graus: .
Temos 4 polos, 0 zeros → 4 assimptotas.
– Centroide:
– Ângulos das assimptotas:
ou em graus:
Passo 5
d) Pontos de saída/entrada no eixo real (breakpoints)
Para achar onde o RL “quebra” ou “reentra” no real, derivamos
Para achar onde o RL “quebra” ou “reentra” no real, derivamos
e fazemos
.
→
(polo repetido) e
.
O único break real de interesse em é
.
O único break real de interesse em
Passo 6
e) Cruzamentos do eixo
A equação característica é
A equação característica é
Expandindo e aplicando Routh, encontramos que a linha de
zera quando
e o par de polos cruzam em
Então cruzamento em
para
.
Passo 7
f) Ângulos de partida dos polos complexos
Na verdade aqui não há polos complexos de malha aberta (são todos reais), mas duas raízes saem em complexos a partir do break em .
Como é um break de duas raízes (multiplicidade 2), os ramos partem com
respectivamente.
Na verdade aqui não há polos complexos de malha aberta (são todos reais), mas duas raízes saem em complexos a partir do break em
Como é um break de duas raízes (multiplicidade 2), os ramos partem com
respectivamente.
Passo 8
g) Ângulos de chegada dos zeros complexos
Não há zeros finitos, então as “chegadas” acontecem no infinito pelas assimptotas.
São os ângulos
Não há zeros finitos, então as “chegadas” acontecem no infinito pelas assimptotas.
São os ângulos
Resposta
a) Início em
(triplo) e
; término em 4 zeros no infinito.
b) Somente no eixo real entre e
.
c) 4 assimptotas com centroide em e ângulos
.
d) Break real em .
e) Cruzamento em para
.
f) Partida dos ramos complexos em a partir de
.
g) Chegada nos zeros no infinito segundo as assimptotas acima.
b) Somente no eixo real entre
c) 4 assimptotas com centroide em
d) Break real em
e) Cruzamento em
f) Partida dos ramos complexos em
g) Chegada nos zeros no infinito segundo as assimptotas acima.