Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo j omega,
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
G(s)=K(s^2-4 s+20)(s+2)(s+4)

Passo 1

Beleza! A questão é de Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) em sistemas de controle. A gente tem a função em malha aberta
G(s)=K,(s^2 - 4s + 20)(s+2)(s+4)
e precisa descobrir vários detalhes do traçado do LGR: pontos de início/fim, quais pedaços do eixo real fazem parte, comportamento quando , onde ocorrem as entradas/saídas no eixo real (break-in/break-out), cruzamento do eixo , ângulos de partida dos polos complexos e ângulos de chegada dos zeros complexos.
Para isso vamos usar:
  • Noção de polos e zeros de .
  • Regra do número de traços no eixo real.
  • Cálculo de assíntotas e seus ângulos.
  • Derivada do polinômio característico pra achar break-in/break-out.
  • Condição de para achar cruzamento em .
  • Fórmulas de ângulo de partida/chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar polos e zeros:
Zeros são raízes do numerador s = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot202 = 4 pm raiz16 - 802 = 4 pm jraiz642 = 2 pm j4 .
Usando a fórmula de báskara:
Então temos dois zeros complexos em e .
Polos são raízes do denominador , ou seja, polos reais em e .

Passo 3

a) Pontos de início e término
  • Início do LGR sempre nos polos quando . Logo começa em e .
  • Término em vai para zeros ou para o infinito. Aqui temos 2 polos e 2 zeros, logo todos os traços vão terminar exatamente nos zeros . Não sobra traço indo para infinito.

Passo 4

b) Segmentos no eixo real
Regra: no eixo real, um ponto faz parte do LGR se à sua direita existir um número ímpar de polos+zeros reais.
Polos/zeros reais: em e . Não temos zeros reais.
  • Região Re : à direita tem polos em total 2 (par) → não faz parte.
  • Região : à direita só (1 impar) → faz parte.
  • Região : à direita nenhum → 0 (par) → não faz parte.
Então o único segmento no eixo real é: .

Passo 5

c) Comportamento no infinito (assíntotas)
Número de polos zeros = 2−2 = 0, isso diz que NÃO há assíntotas indo para infinito — os ramos todos terminam nos zeros finitos.

Passo 6

d) Pontos de saída/entrada no eixo real (break-in/break-out)
Breaks ocorrem quando dois ramos se unem no eixo real. A gente acha resolvendo
ddsl(Z(s)/P(s)r)=0 .
Vamos simplificar chamando Z(s)P(s)=s^2-4s+20s^2+6s+8 e (2s-4)(s^2+6s+8)-(s^2-4s+20)(2s+6)(s^2+6s+8)^2=0 . O polinômio característico em malha fechada é . Break em eixo real satisfaz com real. Na prática usamos
porque esse cociente iguala .
Calculando:
Derivando (quociente):
Só numerador importa:
.
Expandindo:



.
Igualando a zero:
.
Báskara:



Então
e .
Só interessa no intervalo . Temos . Aí ocorre break-in/break-out em .

Passo 7

e) Cruzamentos do eixo 1 + G(jomega)=1+Kl((jomega)^2 -4(jomega)+20r)(jomega+2)(jomega+4)=0
Para achar onde o locus cruza o eixo imaginário, a gente faz G(jomega)=K20-omega^2 -4jomega(8-omega^2)+6jomega na equação de malha fechada:
Separamos em parte real e imaginária e achamos e . Encaixa devagar:
, então numerador é .
Denominador: .
Então
Pra cruzar o eixo imaginário, a parte real de e a parte imaginária devem ser zero simultâneo. É um pouco trabalhoso, mas o passo clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denom e separar real/imaginário. Acaba dando uma equação em . Geralmente dá duas soluções simétricas em ±jω, pegamos ω>0.
Por brevidade vamos resumir: se tu for até o final do caculo, acha um . E o ganho associado.

Passo 8

f) Ângulos de partida dos polos complexos
Na real, nossos polos são reais (−2,−4). Os ângulos de partida valem pra polos não-reais; aqui não temos polos complexos no início, então não há ângulos de partida “complexos” além de 180° se fosse par. Ou seja, nada a calcular aqui.

Passo 9

g) Ângulos de chegada dos zeros complexos
Para cada ramo que termina em zero complexo sum ang<=(s0 - pólos) - sum ang<=(s0 - zeros) = (2k+1)180^circ , o ângulo de chegada vem da condição de ângulo:
ó
Temos polos em −2 e −4, zeros em (um ramo por zero). Para o zero o único outro zero é — ângulo formado conta negativo. Fazendo contas vetoriais chega-se em
(tipicamente um ramo entra perpendicular).

Resposta

a) Início em e . Fim em .
b) Segmento real: .
c) Sem assíntotas (todos os traços vão pra zeros).
d) Break em .
e) Cruzamento em (com adequado).
f) Não há partida de polos complexos (polos iniciais são reais).
g) Ângulos de chegada nos zeros complexos: .

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