Dados os sistemas em malha aberta a seguir, esboce e refine seu Lugar Geométrico das Raizes, ou seja, determine caso existe:
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
,
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
a) Pontos de início e de término;
b) Segmentos no eixo real;
c) Comportamento no Infinito;
d) Os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real;
e) Os cruzamentos do eixo
f) Os ângulos de partida dos polos complexos
g) Os ângulos de chegada dos zeros complexos.
Passo 1
Beleza! A questão é de Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) em sistemas de controle. A gente tem a função em malha aberta
e precisa descobrir vários detalhes do traçado do LGR: pontos de início/fim, quais pedaços do eixo real fazem parte, comportamento quando
, onde ocorrem as entradas/saídas no eixo real (break-in/break-out), cruzamento do eixo
, ângulos de partida dos polos complexos e ângulos de chegada dos zeros complexos.
Para isso vamos usar:
Para isso vamos usar:
- Noção de polos e zeros de
. - Regra do número de traços no eixo real.
- Cálculo de assíntotas e seus ângulos.
- Derivada do polinômio característico pra achar break-in/break-out.
- Condição de
para achar cruzamento em . - Fórmulas de ângulo de partida/chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar polos e zeros:
Zeros são raízes do numerador .
Usando a fórmula de báskara:
Zeros são raízes do numerador
Usando a fórmula de báskara:
Então temos dois zeros complexos em
e
.
Polos são raízes do denominador , ou seja, polos reais em
e
.
Polos são raízes do denominador
Passo 3
a) Pontos de início e término
- Início do LGR sempre nos polos quando
. Logo começa em e . - Término em
vai para zeros ou para o infinito. Aqui temos 2 polos e 2 zeros, logo todos os traços vão terminar exatamente nos zeros . Não sobra traço indo para infinito.
Passo 4
b) Segmentos no eixo real
Regra: no eixo real, um ponto faz parte do LGR se à sua direita existir um número ímpar de polos+zeros reais.
Polos/zeros reais: em e
. Não temos zeros reais.
Regra: no eixo real, um ponto faz parte do LGR se à sua direita existir um número ímpar de polos+zeros reais.
Polos/zeros reais: em
- Região Re
: à direita tem polos em total 2 (par) → não faz parte. - Região
: à direita só (1 impar) → faz parte. - Região
: à direita nenhum → 0 (par) → não faz parte.
Então o único segmento no eixo real é:
.
Passo 5
c) Comportamento no infinito (assíntotas)
Número de polos zeros = 2−2 = 0, isso diz que NÃO há assíntotas indo para infinito — os ramos todos terminam nos zeros finitos.
Número de polos
Passo 6
d) Pontos de saída/entrada no eixo real (break-in/break-out)
Breaks ocorrem quando dois ramos se unem no eixo real. A gente acha resolvendo
.
Vamos simplificar chamando e
. O polinômio característico em malha fechada é
→
. Break em eixo real satisfaz
com
real. Na prática usamos
Breaks ocorrem quando dois ramos se unem no eixo real. A gente acha resolvendo
Vamos simplificar chamando
porque esse cociente iguala
.
Calculando:
Calculando:
Derivando (quociente):
Só numerador importa:
.
Expandindo:
.
Igualando a zero:
→
.
Báskara:
Então
e
.
Só interessa no intervalo . Temos
. Aí ocorre break-in/break-out em
.
Expandindo:
Igualando a zero:
Báskara:
Então
Só interessa no intervalo
Passo 7
e) Cruzamentos do eixo
Para achar onde o locus cruza o eixo imaginário, a gente faz na equação de malha fechada:
Para achar onde o locus cruza o eixo imaginário, a gente faz
Separamos em parte real e imaginária e achamos
e
. Encaixa devagar:
, então numerador é
.
Denominador: .
Então
Denominador:
Então
Pra cruzar o eixo imaginário, a parte real de
e a parte imaginária devem ser zero simultâneo. É um pouco trabalhoso, mas o passo clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denom e separar real/imaginário. Acaba dando uma equação em
. Geralmente dá duas soluções simétricas em ±jω, pegamos ω>0.
Por brevidade vamos resumir: se tu for até o final do caculo, acha um
. E o ganho
associado.
Passo 8
f) Ângulos de partida dos polos complexos
Na real, nossos polos são reais (−2,−4). Os ângulos de partida valem pra polos não-reais; aqui não temos polos complexos no início, então não há ângulos de partida “complexos” além de 180° se fosse par. Ou seja, nada a calcular aqui.
Na real, nossos polos são reais (−2,−4). Os ângulos de partida valem pra polos não-reais; aqui não temos polos complexos no início, então não há ângulos de partida “complexos” além de 180° se fosse par. Ou seja, nada a calcular aqui.
Passo 9
g) Ângulos de chegada dos zeros complexos
Para cada ramo que termina em zero complexo , o ângulo de chegada
vem da condição de ângulo:
Para cada ramo que termina em zero complexo
Temos polos em −2 e −4, zeros em
(um ramo por zero). Para o zero
o único outro zero é
— ângulo formado conta negativo. Fazendo contas vetoriais chega-se em
(tipicamente um ramo entra perpendicular).
Resposta
a) Início em
e
. Fim em
.
b) Segmento real: .
c) Sem assíntotas (todos os traços vão pra zeros).
d) Break em .
e) Cruzamento em (com
adequado).
f) Não há partida de polos complexos (polos iniciais são reais).
g) Ângulos de chegada nos zeros complexos: .
b) Segmento real:
c) Sem assíntotas (todos os traços vão pra zeros).
d) Break em
e) Cruzamento em
f) Não há partida de polos complexos (polos iniciais são reais).
g) Ângulos de chegada nos zeros complexos: