(4.0) Questão 1: Dado o sistema a seguir,
Utilize o critério de Nyquist para decidir se o sistema é estavel,
c G(s)=6 s(s-2)^2 H(s)=1

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede:
– Temos um sistema de controle com malha aberta
G(s)=6s(s-2)^2, H(s)=1,
e a tarefa é usar o critério de Nyquist para decidir se, em malha fechada (ou seja com laço de realimentação unitária), o sistema é estável ou não.
Conteúdo: sistemas de controle clássico, critério de Nyquist.
O que a gente vai precisar:
  1. Identificar polos de no semiplano direito §.
  2. Traçar o contorno de Nyquist (parte ao longo de acrescido dos desvios para pular polos em RD).
  3. Contar quantas vezes o diagrama mapeado de encircla o ponto (N).
  4. Usar a fórmula do Nyquist: , onde é o número de polos fechados em RD.
A partir do próximo passo, começamos a resolver de fato.

Passo 2

Definindo o laço aberto e seus polos:
L(s)=G(s)H(s)=6s(s-2)^2
– Polos de : basta igualar o denominador a zero → → polo duplo em (que fica no semiplano direito).
→ Logo, P = número de polos em RD = 2.
– Zeros de : numerador → zero em .
Em linguagem simples: a malha aberta já é instável (dois polos em ), então o contorno de Nyquist vai precisar desviar desses polos.

Passo 3

Traçando a parte principal do Nyquist (eixo imaginário):
  1. Parametrizamos L(jomega)=6jomega(jomega-2)^2 , com L(jomega)approx6jomega-omega^2=-6jomegato 0(vendo-se que vem pela parte imaginária negativa) indo de 0 a |L(j2)|=6cdot2|(-2+j2)^2|=128=1,5, .
– Em , . O diagrama parte da origem.
– Em , , então
á
– Pelo caminho, a fase de cai de (em ) até (em ), cruzando o eixo real negativo num ponto em que .
3. A interseção no eixo real negativo ocorre quando , que dá ; aí o módulo é
ou seja, cruza em , à esquerda de .
Resumo do que acontece na parte : o gráfico sai de 0, vai subir (quadrante I), cruza o real negativo em , depois desce (quadrante IV) e volta para 0.

Passo 4

Contorno completo de Nyquist:
Como há dois polos em (RD), o caminho padrão “vai pelo eixo imaginário” não pode passar direto por eles. A gente faz dois desvios (pequenos semicírculos) em torno de , infinitamente próximos.
Quando mapeamos esses semicírculos por , cada um gera uma volta em torno do ponto crítico . Brincando de “seguir a seta” dá para ver que os dois semicírculos se traduzem em DUAS voltas no sentido anti-horário em torno de .
Na parte ao longo de (que vimos no passo anterior), NÃO há encirclements adicionais de (o gráfico passa à esquerda de mas não envolve o ponto).
Logo, somando tudo:
– Encirclements no traçado de : N₁ = 0
– Encirclements dos desvios em torno de polos RD: N₂ = –2 (note o sinal negativo pois são voltas anti-horário, e por convenção Nyquist conta CW como positivo)
Portanto o total de encirclements N = N₁ + N₂ = 0 + (–2) = –2.

Passo 5

Aplicando o critério de Nyquist geral:
Z = P + N,
onde
Z = 2 + (-2) = 0 (polos de no RD),
(encirclements “positivos” contados com sinal).
Então
Isto significa que o número de polos em RD da função característica de malha fechada (ou seja, dos polos do sistema em malha fechada) é zero.

Resposta

O sistema em malha fechada é estável (não há polos com parte real positiva).

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