(4.0) Questão 1: Dado o sistema a seguir,
Utilize o critério de Nyquist para decidir se o sistema é estavel,
Utilize o critério de Nyquist para decidir se o sistema é estavel,
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede:
– Temos um sistema de controle com malha aberta
– Temos um sistema de controle com malha aberta
e a tarefa é usar o critério de Nyquist para decidir se, em malha fechada (ou seja com laço de realimentação unitária), o sistema é estável ou não.
Conteúdo: sistemas de controle clássico, critério de Nyquist.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: sistemas de controle clássico, critério de Nyquist.
O que a gente vai precisar:
- Identificar polos de
no semiplano direito §. - Traçar o contorno de Nyquist (parte ao longo de
acrescido dos desvios para pular polos em RD). - Contar quantas vezes o diagrama mapeado de
encircla o ponto (N). - Usar a fórmula do Nyquist:
, onde é o número de polos fechados em RD.
A partir do próximo passo, começamos a resolver de fato.
Passo 2
Definindo o laço aberto e seus polos:
– Polos de
: basta igualar o denominador a zero →
→ polo duplo em
(que fica no semiplano direito).
→ Logo, P = número de polos em RD = 2.
– Zeros de : numerador
→ zero em
.
→ Logo, P = número de polos em RD = 2.
– Zeros de
Em linguagem simples: a malha aberta já é instável (dois polos em
), então o contorno de Nyquist vai precisar desviar desses polos.
Passo 3
Traçando a parte principal do Nyquist (eixo imaginário):
- Parametrizamos
, com indo de 0 a .
– Em
,
. O diagrama parte da origem.
– Em ,
, então
– Em
– Pelo caminho, a fase de
cai de
(em
) até
(em
), cruzando o eixo real negativo num ponto em que
.
3. A interseção no eixo real negativo ocorre quando , que dá
; aí o módulo é
3. A interseção no eixo real negativo ocorre quando
ou seja, cruza em
, à esquerda de
.
Resumo do que acontece na parte
: o gráfico sai de 0, vai subir (quadrante I), cruza o real negativo em
, depois desce (quadrante IV) e volta para 0.
Passo 4
Contorno completo de Nyquist:
Como há dois polos em (RD), o caminho padrão “vai pelo eixo imaginário” não pode passar direto por eles. A gente faz dois desvios (pequenos semicírculos) em torno de
, infinitamente próximos.
Quando mapeamos esses semicírculos por , cada um gera uma volta em torno do ponto crítico
. Brincando de “seguir a seta” dá para ver que os dois semicírculos se traduzem em DUAS voltas no sentido anti-horário em torno de
.
Na parte ao longo de (que vimos no passo anterior), NÃO há encirclements adicionais de
(o gráfico passa à esquerda de
mas não envolve o ponto).
Como há dois polos em
Quando mapeamos esses semicírculos por
Na parte ao longo de
Logo, somando tudo:
– Encirclements no traçado de : N₁ = 0
– Encirclements dos desvios em torno de polos RD: N₂ = –2 (note o sinal negativo pois são voltas anti-horário, e por convenção Nyquist conta CW como positivo)
Portanto o total de encirclements N = N₁ + N₂ = 0 + (–2) = –2.
– Encirclements no traçado de
– Encirclements dos desvios em torno de polos RD: N₂ = –2 (note o sinal negativo pois são voltas anti-horário, e por convenção Nyquist conta CW como positivo)
Portanto o total de encirclements N = N₁ + N₂ = 0 + (–2) = –2.
Passo 5
Aplicando o critério de Nyquist geral:
onde
• (polos de
no RD),
• (encirclements “positivos” contados com sinal).
Então
•
•
Então
Isto significa que o número de polos em RD da função característica de malha fechada (ou seja, dos polos do sistema em malha fechada) é zero.
Resposta
O sistema em malha fechada é estável (não há polos com parte real positiva).