Os dados sobre o número de casas em quarteirões de uma cidade são: 2,2,3,2,3,4,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20,21,22,23,24,25,26, 27,28,30,31,32,33,35,37,39,40,42,45,46,50,55,60,65,70,80,85,90,97.
(a) Use cinco intervalos de classes e construa um histograma.
(b) Calcule uma medida de posição central (média ou mediana) e uma medida de
dispersão (desvio padrão ou variância).
Passo 1
O enunciado dá os números de casas em vários quarteirões (lista de observações) e pede duas coisas:
(a) usar cinco intervalos de classes e construir um histograma;
(b) calcular uma medida de posição central (média ou mediana) e uma medida de dispersão (desvio padrão ou variância).
Dados relevantes fornecidos (copiados do enunciado): 2,2,3,2,3,4,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20,21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,33,35,37,39,40,42,45,46,50,55,60,65,70,80,85,90,97.
Informações que vamos usar imediatamente:
número de observações: n=50 (contando todos os valores).
menor valor: \min=2.
maior valor: \max=97.
Passo 2
Escolha dos intervalos para o histograma (explicação didática passo a passo).
Queremos cinco classes de mesma amplitude (opção simples e natural quando o enunciado não impõe outro critério). A amplitude (largura) de cada classe é dada por
\text{amplitude} = \frac{\max - \min}{\text{nº de classes}}.
Agora definimos as classes começando em \min=2 e usando convenção: incluir o limite esquerdo e excluir o direito, exceto na última classe que inclui o extremo superior (forma prática para agrupar sem ambiguidade). As classes ficam:
Observação: a última classe foi escrita [78,97] para garantir que o valor \,97 entre na última classe.
Passo 3
Contagem das observações em cada classe (passo a passo, verificando cada valor).
Nós já listamos os dados e ordenamos mentalmente; agora contamos quantas observações caem em cada intervalo:
Classe [2,21): contém todos os valores \ge2 e <21. São estes: três \,2's, três \,3's, e os valores 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20. Contagem total: \,22.
Classe [21,40): contém 21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,33,35,37,39. Contagem: \,15.
Classe [40,59): contém 40,42,45,46,50,55. Contagem: \,6.
Classe [59,78): contém 60,65,70. Contagem: \,3.
Classe [78,97]: contém 80,85,90,97. Contagem: \,4.
Verificação rápida: 22+15+6+3+4=50=n, está consistente.
Esses contadores formam a base do histograma: como as classes têm a mesma largura, a altura de cada barra pode ser simplesmente a frequência (nº de observações) de cada classe.
Passo 4
Como construir o histograma (instrução prática para a prova).
No eixo horizontal (x) marque as classes: [2,21),[21,40),[40,59),[59,78),[78,97].
No eixo vertical (y) marque a escala de frequência (por exemplo 0,5,10,15,20).
Desenhe uma barra sobre cada classe cuja altura seja a frequência da classe: 22,\;15,\;6,\;3,\;4 respectivamente.
Como as larguras são iguais, não é preciso ajustar por densidade; altura = frequência representa corretamente o histograma.
Se pedirem densidade ao invés de frequência, a densidade de cada classe seria \frac{\text{freq}}{19}, pois a largura é 19. Mas para histogramas convencionais com classes iguais, usar frequência é suficiente.
Passo 5
Escolha da medida de posição central e da medida de dispersão.
Vou calcular a média aritmética (medida de posição) e o desvio padrão amostral (medida de dispersão). Justificativa rápida: média e desvio padrão são as medidas mais comuns para conjuntos numéricos como este; escolhi o desvio padrão amostral (denominador n-1) porque muitas provas e cursos pedem s quando se trata de uma amostra. Se preferir a variância populacional, é só usar denominador n.
que evita calcular cada x_i-\bar{x} individualmente.
Passo 6
Cálculo da média passo a passo.
Já contamos e somamos os valores (somatório das observações):
\sum_{i=1}^{50} x_i = 1459.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{1459}{50}=29,18.
Pequeno comentário didático: a média é o “centro de gravidade” dos dados; ela é sensível a valores extremos (por exemplo, os valores grandes como 97,90,85 puxam a média para cima).
Passo 7
Cálculo do desvio padrão (passo a passo usando a fórmula com soma dos quadrados).
Primeiro calculamos a soma dos quadrados das observações:
Interpretação breve: s\approx24{,}67 significa que, em média (no sentido quadrático), os números de casas desviam da média em cerca de 24{,}7 casas — há grande variabilidade nos quarteirões (alguns muito pequenos, outros bem grandes).