Os dados sobre o número de casas em quarteirões de uma cidade são:
2,2,3,2,3,4,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20,21,22,23,24,25,26, 27,28,30,31,32,33,35,37,39,40,42,45,46,50,55,60,65,70,80,85,90,97.
(a) Use cinco intervalos de classes e construa um histograma.
(b) Calcule uma medida de posição central (média ou mediana) e uma medida de
dispersão (desvio padrão ou variância).

Passo 1

O enunciado dá os números de casas em vários quarteirões (lista de observações) e pede duas coisas:
  • (a) usar cinco intervalos de classes e construir um histograma;
  • (b) calcular uma medida de posição central (média ou mediana) e uma medida de dispersão (desvio padrão ou variância).
Dados relevantes fornecidos (copiados do enunciado): 2,2,3,2,3,4,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20,21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,33,35,37,39,40,42,45,46,50,55,60,65,70,80,85,90,97.
Informações que vamos usar imediatamente:
  • número de observações: n=50 (contando todos os valores).
  • menor valor: \min=2.
  • maior valor: \max=97.

Passo 2

Escolha dos intervalos para o histograma (explicação didática passo a passo).
Queremos cinco classes de mesma amplitude (opção simples e natural quando o enunciado não impõe outro critério). A amplitude (largura) de cada classe é dada por
\text{amplitude} = \frac{\max - \min}{\text{nº de classes}}.º
Substituindo:
\text{amplitude} = \frac{97-2}{5} = \frac{95}{5} = 19.
Portanto escolhemos classes de largura \,19.
Agora definimos as classes começando em \min=2 e usando convenção: incluir o limite esquerdo e excluir o direito, exceto na última classe que inclui o extremo superior (forma prática para agrupar sem ambiguidade). As classes ficam:
[2,21),\\ [21,40),\\ [40,59),\\ [59,78),\\ [78,97].
Observação: a última classe foi escrita [78,97] para garantir que o valor \,97 entre na última classe.

Passo 3

Contagem das observações em cada classe (passo a passo, verificando cada valor).
Nós já listamos os dados e ordenamos mentalmente; agora contamos quantas observações caem em cada intervalo:
  • Classe [2,21): contém todos os valores \ge2 e <21. São estes: três \,2's, três \,3's, e os valores 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,18,20. Contagem total: \,22.
  • Classe [21,40): contém 21,22,23,24,25,26,27,28,30,31,32,33,35,37,39. Contagem: \,15.
  • Classe [40,59): contém 40,42,45,46,50,55. Contagem: \,6.
  • Classe [59,78): contém 60,65,70. Contagem: \,3.
  • Classe [78,97]: contém 80,85,90,97. Contagem: \,4.
Verificação rápida: 22+15+6+3+4=50=n, está consistente.
Esses contadores formam a base do histograma: como as classes têm a mesma largura, a altura de cada barra pode ser simplesmente a frequência (nº de observações) de cada classe.

Passo 4

Como construir o histograma (instrução prática para a prova).
  • No eixo horizontal (x) marque as classes: [2,21),[21,40),[40,59),[59,78),[78,97].
  • No eixo vertical (y) marque a escala de frequência (por exemplo 0,5,10,15,20).
  • Desenhe uma barra sobre cada classe cuja altura seja a frequência da classe: 22,\;15,\;6,\;3,\;4 respectivamente.
  • Como as larguras são iguais, não é preciso ajustar por densidade; altura = frequência representa corretamente o histograma.
Se pedirem densidade ao invés de frequência, a densidade de cada classe seria \frac{\text{freq}}{19}, pois a largura é 19. Mas para histogramas convencionais com classes iguais, usar frequência é suficiente.

Passo 5

Escolha da medida de posição central e da medida de dispersão.
Vou calcular a média aritmética (medida de posição) e o desvio padrão amostral (medida de dispersão). Justificativa rápida: média e desvio padrão são as medidas mais comuns para conjuntos numéricos como este; escolhi o desvio padrão amostral (denominador n-1) porque muitas provas e cursos pedem s quando se trata de uma amostra. Se preferir a variância populacional, é só usar denominador n.
Fórmulas que vamos usar:
  • média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
  • desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}.
Uma forma prática de calcular a soma dos quadrados é usar a identidade
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2,
que evita calcular cada x_i-\bar{x} individualmente.

Passo 6

Cálculo da média passo a passo.
Já contamos e somamos os valores (somatório das observações):
\sum_{i=1}^{50} x_i = 1459.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{1459}{50}=29,18.
Pequeno comentário didático: a média é o “centro de gravidade” dos dados; ela é sensível a valores extremos (por exemplo, os valores grandes como 97,90,85 puxam a média para cima).

Passo 7

Cálculo do desvio padrão (passo a passo usando a fórmula com soma dos quadrados).
Primeiro calculamos a soma dos quadrados das observações:
\sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 72\,391.
Em seguida usamos a identidade:
\sum_{i=1}^{50} (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2.
Substituindo \bar{x}=\dfrac{1459}{50} e n=50:
\sum_{i=1}^{50} (x_i-\bar{x})^2 = 72\,391 - 50\left(\frac{1459}{50}\right)^2 =72\,391 - \frac{1459^2}{50}.
Fazendo as contas exatas (passo a passo):
1459^2 = 2\,128\,681,
\frac{1459^2}{50}=\frac{2\,128\,681}{50}=42\,573{,}62,
\sum_{i=1}^{50} (x_i-\bar{x})^2 = 72\,391 - 42\,573{,}62 = 29\,817{,}38.
Agora a variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \frac{29\,817{,}38}{49} \approx 608{,}518.
Finalmente o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2} \approx \sqrt{608{,}518}\approx 24{,}67.
Interpretação breve: s\approx24{,}67 significa que, em média (no sentido quadrático), os números de casas desviam da média em cerca de 24{,}7 casas — há grande variabilidade nos quarteirões (alguns muito pequenos, outros bem grandes).

Resposta

(a) [2,21):22,\\ [21,40):15,\\ [40,59):6,\\ [59,78):3,\\ [78,97]:4.\n(b) \bar{x}=29,18;\\ s\approx24,67.

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