Dados os subespaços vetoriais U_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=z\right\} ; U_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y+z=0\right\} e U_{3}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=y=0\right\} do espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
Verifique que U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^{3}, U_{1}+U_{3}=\mathbb{R}^{3} e U_{2}+U_{3}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá três subespaços de \mathbb{R}^3:
U_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x=z\},\quad U_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x+y+z=0\},\quad U_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x=0,\;y=0\}.
Queremos mostrar que as somas U_1+U_2, U_1+U_3 e U_2+U_3 coincidem com todo \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar conteúdo de dimensão de subespaços e a fórmula da dimensão da soma:
\dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V).

Passo 2

Primeiro, calculamos as dimensões de cada subespaço, encontrando bases convenientes:
  • Em U_{1}, a condição x=z (x,y,z)=(x,y,x)=x(1,0,1)+y(0,1,0).
    Assim, uma base de U_{1} é \{(1,0,1),(0,1,0)\} e \dim(U_{1})=2.
  • Em U_{2}, a equação x+y+z=0 permite escrever (x,y,z)=(s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1).
    Logo, \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} é base e \dim(U_{2})=2.
  • Em U_{3}, temos (x,y,z)=(0,0,z)=z(0,0,1).
    Então \{(0,0,1)\} gera U_{3} e \dim(U_{3})=1.

Passo 3

Agora analisamos U_{1}\cap U_{2}. Um vetor em U_{1}\cap U_{2} satisfaz
x=z,\quad x+y+z=0.
Substituindo z=x na segunda, vem x+y+x=0\Rightarrow y=-2x. Logo
(x,y,z)=(x,-2x,x)=x\,(1,-2,1),
o que mostra que U_{1}\cap U_{2}=\mathrm{span}\{(1,-2,1)\} tem dimensão 1. Assim,
\dim(U_{1}+U_{2}) =\dim(U_{1})+\dim(U_{2})-\dim(U_{1}\cap U_{2}) =2+2-1=3.
Como \dim(\mathbb{R}^3)=3, segue U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^3.

Passo 4

Agora U_{1}\cap U_{3}. Em U_{3} é x=0 e y=0, e em U_{1} é z=x.
Juntando:
x=0,\;y=0,\;z=x=0\quad\Longrightarrow\quad(x,y,z)=(0,0,0).
Logo \dim(U_{1}\cap U_{3})=0 e
\dim(U_{1}+U_{3})=2+1-0=3,
isto é, U_{1}+U_{3}=\mathbb{R}^3.

Passo 5

Por fim U_{2}\cap U_{3}. Em U_{3} temos (0,0,z) e em U_{2} x+y+z=0.
Para (0,0,z) entrarem em U_{2}, precisa 0+0+z=0\Rightarrow z=0.
Só resta o vetor zero, logo \dim(U_{2}\cap U_{3})=0 e
\dim(U_{2}+U_{3})=2+1-0=3,
portanto U_{2}+U_{3}=\mathbb{R}^3.

Resposta

Verificamos que
U_{1}+U_{2}=\mathbb{R}^{3},\quad U_{1}+U_{3}=\mathbb{R}^{3},\quad U_{2}+U_{3}=\mathbb{R}^{3}.

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