Dados os subespaços vetoriais
e
do espaço vetorial
.
Verifique que
e
.
Verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá três subespaços de
:
Queremos mostrar que as somas
,
e
coincidem com todo
. Para isso, vamos usar conteúdo de dimensão de subespaços e a fórmula da dimensão da soma:
Passo 2
Primeiro, calculamos as dimensões de cada subespaço, encontrando bases convenientes:
- Em
, a condição dá .
Assim, uma base deé e . - Em
, a equação permite escrever .
Logo,é base e . - Em
, temos .
Entãogera e .
Passo 3
Agora analisamos
. Um vetor em
satisfaz
Substituindo
na segunda, vem
. Logo
o que mostra que
tem dimensão 1. Assim,
Como
, segue
.
Passo 4
Agora
. Em
é
e
, e em
é
.
Juntando:
Juntando:
Logo
e
isto é,
.
Passo 5
Por fim
. Em
temos
e em
.
Para entrarem em
, precisa
.
Só resta o vetor zero, logo e
Para
Só resta o vetor zero, logo
portanto
.
Resposta
Verificamos que