Em cada um dos casos, determine o menor número de geradores para subespaço U=[S]. S=\left\{1+t^{2}, 1+t, 1+2 t^{2}, 2\right\} \quad em \quad \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado pede o menor número de geradores de \;U=[S]\subset\mathscr P_2(\mathbb R),
onde
S=\{\,1+t^2,\;1+t,\;1+2t^2,\;2\}.
Isto equivale a encontrar a dimensão de U. Para isso, vamos representar cada polinômio na base padrão \{1,t,t^2\} e determinar o posto do sistema de vetores obtido.
Passo 2
Associamos a cada polinômio p(t)=a+bt+ct^2 o vetor coluna \bigl[a,b,c\bigr]^{T}. Assim:
Fazendo R_3\leftarrow R_3-R_1 e seguindo a eliminação, obtemos três pivôs não nulos (um em cada linha), logo \mathrm{rank}(A)=3.
Passo 4
Como o posto da matriz é 3, concluímos que \dim U=3. Em \mathscr P_2(\mathbb R) a dimensão máxima é 3, então exatamente três polinômios de S formam uma base de U.