Verifique, em cada um dos casos, se conjunto S é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.). Justifique sua resposta (faça cálculos somente quando for realmente necessário!) S=\left\{1-2 t+t^{2}, 2+t,-1-3 t+t^{2}\right\} em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
S=\{\,1-2t+t^{2},\;2+t,\;-1-3t+t^{2}\}
em \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) e pede para verificar se esses três polinômios são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: precisamos checar se a combinação
a\,(1-2t+t^2)+b\,(2+t)+c\,(-1-3t+t^2)=0
só admite a solução trivial a=b=c=0.
Passo 2
Escrevemos a combinação
a\,(1-2t+t^2)+b\,(2+t)+c\,(-1-3t+t^2)=0
e agrupamos termos em potências de t. O coeficiente de t^2 é
a + c = 0,
o coeficiente de t é
-2a + b -3c = 0,
e o termo constante é
a + 2b - c = 0.
Passo 3
Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + c = 0,\\\\ -2a + b - 3c = 0,\\\ a + 2b - c = 0, \end{cases}
da primeira equação vem c=-a. Substituindo em -2a + b -3c=0 obtemos
-2a + b +3a = 0 \quad\Longrightarrow\quad b + a = 0 \quad\Longrightarrow\quad b=-a.
A terceira equação fica
a + 2(-a) -(-a)=a-2a+a=0,
que é satisfeita para qualquer a. Logo temos infinitas soluções não triviais, por exemplo a=1, b=-1, c=-1.
Passo 4
Como existe solução não trivial para (a,b,c), os polinômios são linearmente dependentes. Uma relação explícita é