Os dados da tabela abaixo foram obtidos com uma peneira de 6 Mesh Tyler, recebia diretamente o produto de uma mina de carvão à razão de 120 \mathrm{t} / \mathrm{h}. A finalidade da operação era separar o pó existente no produto britado.
Calcule:
a) a quantidade dos produtos da operação;
b) a eficiência da peneira empregada.
Fração Alimentação (Kg) Refugo (Kg) Produto (%)
+ 1/4" 3825 2905
1/4"/6 1006 767 11,3
6/8 - - 7,8
6/14 750 405
14/28 303 117 8,6
28/48 219 68 10,2
48/panela 807 278 62,1
Total 6910 4540 100

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular a quantidade (em kg) dos produtos da operação, isto é, quanto passou pela peneira (produto) em cada fração;
  • (b) calcular a eficiência da peneira empregada.
As informações fornecidas (da tabela) são, por fração:
  • +\tfrac{1}{4}'': alimentação =3825\\ \mathrm{kg}, refugo =2905\\ \mathrm{kg}.
  • \tfrac{1}{4}''/6: alimentação =1006\\ \mathrm{kg}, refugo =767\\ \mathrm{kg}.
  • 6/8: alimentação e refugo indicados por “-” (ausentes).
  • 6/14: alimentação =750\\ \mathrm{kg}, refugo =405\\ \mathrm{kg}.
  • 14/28: alimentação =303\\ \mathrm{kg}, refugo =117\\ \mathrm{kg}.
  • 28/48: alimentação =219\\ \mathrm{kg}, refugo =68\\ \mathrm{kg}.
  • 48/\text{panela}: alimentação =807\\ \mathrm{kg}, refugo =278\\ \mathrm{kg}.
  • Total: alimentação =6910\\ \mathrm{kg}, refugo =4540\\ \mathrm{kg}.
Observações sobre os dados:
  • As células com “-” (para 6/8) serão tratadas como ausentes (no balanço total dado, não há massa atribuída a essa fração).
  • Produto (massa que passou pela peneira) não consta na tabela e deve ser calculado a partir dos dados de alimentação e refugo.

Passo 2

Definição e fórmula básica para achar a quantidade de produto por fração.
Quando se tem, para uma fração, a massa alimentada F e a massa de refugo R (aquela retida pela peneira naquela fração), a massa do produto (parte que passou pela peneira, undersize) dessa fração é
P = F - R,
onde
  • P é a massa do produto (kg) que saiu dessa fração,
  • F é a massa de alimentação (kg) nessa fração,
  • R é a massa de refugo (kg) nessa fração.
Isso faz sentido porque todo o material alimentado ou é retido (refugo) ou passa (produto), assumindo que não houve perdas.

Passo 3

Calcular P para cada fração usando P=F-R. Para a fração com “-” (6/8) assumimos F=0 e R=0 (não havia material nessa fração no balanço dado).
Cálculos (cada conta mostrada claramente):
Para +\tfrac{1}{4}'':
P = 3825 - 2905 = 920\\ \mathrm{kg}.
Para \tfrac{1}{4}''/6:
P = 1006 - 767 = 239\\ \mathrm{kg}.
Para 6/8 (dados ausentes na tabela, trata-se de F=0 e R=0):
P = 0 - 0 = 0\\ \mathrm{kg}.
Para 6/14:
P = 750 - 405 = 345\\ \mathrm{kg}.
Para 14/28:
P = 303 - 117 = 186\\ \mathrm{kg}.
Para 28/48:
P = 219 - 68 = 151\\ \mathrm{kg}.
Para 48/\text{panela}:
P = 807 - 278 = 529\\ \mathrm{kg}.
Verificação do total de produto: somando todas as frações obtém-se
\sum P = 920 + 239 + 0 + 345 + 186 + 151 + 529 = 2370\\ \mathrm{kg}.
Note que isso coincide com o total calculado por 6910-4540=2370\\ \mathrm{kg}, bom cheque de consistência.

Passo 4

Calcular a distribuição percentual do produto entre as frações (opcional, mas útil para interpretação). A porcentagem de cada fração no produto final é
\%P_i = \frac{P_i}{\sum P}\times 100\%.
Cálculos:
Para +\tfrac{1}{4}'':
\%P = \frac{920}{2370}\times100\% \approx 38{,}8\%.
Para \tfrac{1}{4}''/6:
\%P = \frac{239}{2370}\times100\% \approx 10{,}1\%.
Para 6/8:
\%P = \frac{0}{2370}\times100\% = 0{,}0\%.
Para 6/14:
\%P = \frac{345}{2370}\times100\% \approx 14{,}6\%.
Para 14/28:
\%P = \frac{186}{2370}\times100\% \approx 7{,}8\%.
Para 28/48:
\%P = \frac{151}{2370}\times100\% \approx 6{,}4\%.
Para 48/\text{panela}:
\%P = \frac{529}{2370}\times100\% \approx 22{,}3\%.
Confirmação: a soma das porcentagens dá 100\% (com pequenos arredondamentos).

Passo 5

Agora definir e deduzir a fórmula usada para a eficiência da peneira.
Intuição: a peneira tem a função de deixar passar as partículas finas (undersize) e reter as grossas (oversize). A eficiência de peneiramento para o material fino costuma ser definida como a fração do material fino presente na alimentação que efetivamente passou pela peneira. Em fórmula:
\eta = \frac{\text{massa do undersize que realmente ficou no produto}}{\text{massa total de undersize presente na alimentação}} \times 100\%.çã
Em símbolos:
  • Seja U_f a massa total de undersize presente na alimentação (kg). São as frações cuja dimensão é menor que a abertura da peneira (aqui, menores que a malha 6). Pelas classes da tabela, consideramos como undersize as frações 6/8,\;6/14,\;14/28,\;28/48,\;48/\text{panela}.
  • Seja R_u a massa de undersize que foi encontrada como refugo (isto é, undersize que foi retida — falha da peneira). Para essas mesmas frações, o valor registrado em “Refugo” representa justamente o undersize que foi retido (teste mostrou que parte do material fino foi retida).
Então a eficiência é
\eta = \left(1 - \frac{R_u}{U_f}\right)\times100\%.
Explicação rápida: \dfrac{R_u}{U_f} é a fração do undersize que foi perdida (retida), então subtraindo de 1 obtemos a fração do undersize que passou.

Passo 6

Calcular U_f e R_u a partir dos dados da tabela (para as frações menores que a malha 6). Como 6/8 não tem valores na tabela, tomamos F=0 e R=0 para essa fração.
Somar as alimentações das frações undersize:
U_f = F_{6/8}+F_{6/14}+F_{14/28}+F_{28/48}+F_{48/panela} = 0 + 750 + 303 + 219 + 807 = 2079\\ \mathrm{kg}.
Somar os refugos (undersize retida) nessas frações:
R_u = R_{6/8}+R_{6/14}+R_{14/28}+R_{28/48}+R_{48/panela} = 0 + 405 + 117 + 68 + 278 = 868\\ \mathrm{kg}.
Aplicar a fórmula da eficiência:
\eta = \left(1 - \frac{868}{2079}\right)\times100\% = \left(1 - 0{,}4176\right)\times100\% \approx 58{,}24\%.
Arredondando, \eta \approx 58{,}2\%.

Resposta

+\tfrac{1}{4}’’: 920\\ \mathrm{kg} (38{,}8% do produto)
\tfrac{1}{4}’’/6: 239\\ \mathrm{kg} (10{,}1% do produto)
6/8: 0\\ \mathrm{kg} (0{,}0% do produto)
6/14: 345\\ \mathrm{kg} (14{,}6% do produto)
14/28: 186\\ \mathrm{kg} (7{,}8% do produto)
28/48: 151\\ \mathrm{kg} (6{,}4% do produto)
48/panela: 529\\ \mathrm{kg} (22{,}3% do produto)
Total produto: 2370\\ \mathrm{kg}
Eficiência da peneira: 58{,}2\%

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