Questão 04 - (1,5 Pontos): Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de aço carbono de 122 m de comprimento e 50 mm de diâmetro. Considere \mathrm{Z} 1=6,1 \mathrm{~m} e \mathrm{Z} 2=36,6 \mathrm{~m} sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a potência requerida pela bomba considerando rendimento global de 70%:
  • Vazão: Q=5,6\\ \text{L/s}.
  • Comprimento da tubulação: L=122\\ \text{m}.
  • Diâmetro da tubulação: D=50\\ \text{mm}.
  • Cotas das superfícies livres: Z_1=6,1\\ \text{m} (reservatório de aspiração) e Z_2=36,6\\ \text{m} (reservatório de recalque).
  • Rendimento global: \eta=70\%.
O que precisa ser calculado: potência elétrica que a bomba deve fornecer (em Watts) para transportar a água com essa vazão entre os dois reservatórios, considerando perdas na tubulação e o rendimento dado.
Observação: o enunciado não fornece densidade, viscosidade ou rugosidade da tubulação; vou usar valores padrão para água à temperatura ambiente e rugosidade típica de aço carbono e explicarei/justificarei essas escolhas quando necessário.

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo a velocidade média no tubo (passo fundamental, porque perdas por atrito dependem da velocidade):
Conversões e área da seção:
Q = 5,6\\ \text{L/s} = 0,0056\\ \mathrm{m^3/s}
D = 50\\ \mathrm{mm} = 0,05\\ \mathrm{m}
Área interna do tubo:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi(0,05)^{2}}{4} = 0,0019635\\ \mathrm{m^{2}}
Velocidade média V (definição: vazão dividido por área):
V=\frac{Q}{A}=\frac{0,0056}{0,0019635}\approx 2,85\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: a velocidade média é importante porque a energia dissipada por atrito na tubulação depende fortemente de V^{2}. Para calcular perdas precisamos também saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento), que depende do número de Reynolds.

Passo 3

Calculo do número de Reynolds para classificar o regime de escoamento:
Usarei propriedades típicas da água a 20 °C:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O número de Reynolds é definido por
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{2{,}85\cdot 0{,}05}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 1{,}43\times10^{5}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Em regime turbulento a perda de carga por atrito é dada pela equação de Darcy–Weisbach, que usa um fator de atrito adimensional f. Para calcular f precisamos da rugosidade relativa \epsilon/D e de \mathrm{Re}.

Passo 4

Escolha da fórmula para o fator de atrito f e valor de rugosidade:
  • Para tubos de aço carbono comerciais tipicamente usa-se \epsilon\approx 0,045\\ \mathrm{mm}=4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. Vou adotar \epsilon=0,000045\\ \mathrm{m}.
  • A rugosidade relativa é \epsilon/D=0,000045/0,05=0,0009.
Para fluxo turbulento, o fator de atrito pode ser encontrado pela equação implícita de Colebrook ou por fórmulas explícitas aproximadas. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa precisão prática e fácil de calcular):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Explicação: \mathrm{Re} quantifica a influência da viscosidade e velocidade; \epsilon/D quantifica a influência da rugosidade relativa. A equação de Darcy–Weisbach com f dá a perda de carga por atrito ao longo do comprimento do tubo.

Passo 5

Calculo numérico do fator f usando Swamee–Jain:
Já temos \mathrm{Re}\approx 1{,}4265\times10^{5} (valores arredondados) e \epsilon/D=0{,}0009.
Calculo intermediário:
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx (1{,}4265\times10^{5})^{0{,}9}\approx 4{,}3541\times10^{4}.
\frac{\epsilon/D}{3{,}7} = \frac{0{,}0009}{3{,}7} \approx 2{,}4324\times10^{-4}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{4{,}3541\times10^{4}} \approx 1{,}319\times10^{-4}.
Somando:
\frac{\epsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 3{,}7514\times10^{-4}.
\log_{10}\!(3{,}7514\times10^{-4}) \approx -3{,}425.
Portanto
f = 0{,}25\left(-3{,}425\right)^{-2}\approx 0{,}0213.
Interpretação: f\approx 0{,}0213 é um valor típico para escoamento turbulento em tubos comerciais com essa velocidade e rugosidade.

Passo 6

Calculo da perda de carga por atrito h_f usando Darcy–Weisbach:
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g}.
Valores já obtidos:
\frac{L}{D}=\frac{122}{0{,}05}=2440.
Calculo do termo de velocidade:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(2{,}85)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{8{,}1225}{19{,}62}\approx 0{,}4150\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_f = 0{,}0213\cdot 2440\cdot 0{,}4150 \approx 21{,}6\\ \mathrm{m}.
Interpretação: cerca de 21{,}6\\ \mathrm{m} de coluna d’água são perdidos por atrito ao longo dos 122\\ \mathrm{m} de tubulação; é uma contribuição significativa comparada à diferença de cotas.

Passo 7

Calculo da altura total que a bomba precisa fornecer (carga hidráulica):
Para dois reservatórios abertos à atmosfera, desprezando velocidades nas superfícies (superfícies livres grandes), a carga fornecida pela bomba é a soma da diferença de cota e das perdas:
H = (Z_2 - Z_1) + h_f.
Z_2 - Z_1 = 36{,}6 - 6{,}1 = 30{,}5\\ \mathrm{m}.
H = 30{,}5 + 21{,}6 = 52{,}1\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Explicação: a bomba deve suprir a elevação útil mais as perdas por atrito; quaisquer pequenas perdas locais não fornecidas no enunciado foram desprezadas.

Passo 8

Calculo da potência hidráulica requerida (potência útil ao fluido):
A potência hidráulica P_{h} é dada por
P_{h}=\rho g Q H.
Substituindo:
P_{h}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0056\cdot 52{,}07 \approx 2{,}86\times10^{3}\\ \mathrm{W}.
Detalhe numérico:
1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0056 \approx 54{,}94, \quad 54{,}94\cdot 52{,}07 \approx 2857\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Considerando o rendimento global da bomba \eta=70\% = 0{,}70, a potência elétrica que deve ser fornecida pela bomba é:
P_{\text{elétrica}}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{2857}{0{,}70}\approx 4081\\ \mathrm{W}.é
Comentário final e incentivo: chegamos a um valor por volta de 4{,}08\\ \text{kW}. Se ficar ansioso na prova, lembra: passo a passo — converter unidades, achar velocidade, avaliar Re, escolher fórmula de f, calcular perdas e então energia — é a sequência que funciona sempre. Você vai mandar bem!

Resposta

4081\ \mathrm{W}

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