Questão 04 - (1,5 Pontos): Água e bombeada entre dois reservatórios abertos para a atmosfera a uma vazão de 5,6 litros/s, numa tubulação de aço carbono de 122 m de comprimento e 50 mm de diâmetro. Considere
e
sendo (1) a superfície livre do reservatório de aspiração (antes da bomba) e (2) a superfície livre do reservatório de recalque (após a bomba). Calcule a potência requerida pela bomba em Watts considerando um rendimento global de 70%.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a potência requerida pela bomba considerando rendimento global de 70%:
- Vazão:
. - Comprimento da tubulação:
. - Diâmetro da tubulação:
. - Cotas das superfícies livres:
(reservatório de aspiração) e (reservatório de recalque). - Rendimento global:
.
O que precisa ser calculado: potência elétrica que a bomba deve fornecer (em Watts) para transportar a água com essa vazão entre os dois reservatórios, considerando perdas na tubulação e o rendimento dado.
Observação: o enunciado não fornece densidade, viscosidade ou rugosidade da tubulação; vou usar valores padrão para água à temperatura ambiente e rugosidade típica de aço carbono e explicarei/justificarei essas escolhas quando necessário.
Passo 2
Primeiro converto unidades e calculo a velocidade média no tubo (passo fundamental, porque perdas por atrito dependem da velocidade):
Conversões e área da seção:
Área interna do tubo:
Velocidade média
(definição: vazão dividido por área):
Explicação didática: a velocidade média é importante porque a energia dissipada por atrito na tubulação depende fortemente de
. Para calcular perdas precisamos também saber o regime de escoamento (laminar ou turbulento), que depende do número de Reynolds.
Passo 3
Calculo do número de Reynolds para classificar o regime de escoamento:
Usarei propriedades típicas da água a 20 °C:
O número de Reynolds é definido por
Substituindo:
Interpretação: como
, o escoamento é turbulento. Em regime turbulento a perda de carga por atrito é dada pela equação de Darcy–Weisbach, que usa um fator de atrito adimensional
. Para calcular
precisamos da rugosidade relativa
e de
.
Passo 4
Escolha da fórmula para o fator de atrito
e valor de rugosidade:
- Para tubos de aço carbono comerciais tipicamente usa-se
. Vou adotar . - A rugosidade relativa é
.
Para fluxo turbulento, o fator de atrito pode ser encontrado pela equação implícita de Colebrook ou por fórmulas explícitas aproximadas. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa precisão prática e fácil de calcular):
Explicação:
quantifica a influência da viscosidade e velocidade;
quantifica a influência da rugosidade relativa. A equação de Darcy–Weisbach com
dá a perda de carga por atrito ao longo do comprimento do tubo.
Passo 5
Calculo numérico do fator
usando Swamee–Jain:
Já temos
(valores arredondados) e
.
Calculo intermediário:
Somando:
Portanto
Interpretação:
é um valor típico para escoamento turbulento em tubos comerciais com essa velocidade e rugosidade.
Passo 6
Calculo da perda de carga por atrito
usando Darcy–Weisbach:
Valores já obtidos:
Calculo do termo de velocidade:
Agora:
Interpretação: cerca de
de coluna d’água são perdidos por atrito ao longo dos
de tubulação; é uma contribuição significativa comparada à diferença de cotas.
Passo 7
Calculo da altura total que a bomba precisa fornecer (carga hidráulica):
Para dois reservatórios abertos à atmosfera, desprezando velocidades nas superfícies (superfícies livres grandes), a carga fornecida pela bomba é a soma da diferença de cota e das perdas:
Explicação: a bomba deve suprir a elevação útil mais as perdas por atrito; quaisquer pequenas perdas locais não fornecidas no enunciado foram desprezadas.
Passo 8
Calculo da potência hidráulica requerida (potência útil ao fluido):
A potência hidráulica
é dada por
Substituindo:
Detalhe numérico:
Passo 9
Considerando o rendimento global da bomba
, a potência elétrica que deve ser fornecida pela bomba é:
Comentário final e incentivo: chegamos a um valor por volta de
. Se ficar ansioso na prova, lembra: passo a passo — converter unidades, achar velocidade, avaliar Re, escolher fórmula de
, calcular perdas e então energia — é a sequência que funciona sempre. Você vai mandar bem!
Resposta
4081\ \mathrm{W}