Questão 01 - (1,5 Pontos) - Considere um sistema de bombeamento de água para processamento de suco, no qual um conjunto elevatório, com rendimento de 75 \%, recalca uma vazão de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água, do reservatório inferior, com nível d’água na cota 150,00 \mathrm{~m}, para o reservatório superior, com nível d’água na cota 200,00 \mathrm{~m}. As perdas de carga totais na tubulação de sucção e de recalque são, respectivamente, \Delta \mathrm{Hs}= 0,56 \mathrm{me} \Delta \mathrm{Hr}=17,92 \mathrm{~m}. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são, respectivamente, 0,15 \mathrm{me} 0,10 \mathrm{~m} .0 eixo da bomba está na cota geométrica 151,50 \mathrm{~m}. Determine: a) as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba; b) as cargas de pressão disponíveis no centro dessas seções; c) a altura total de elevação e a potência fornecida pela bomba. \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Utilizar 04 (quatro) casas decimais sem aproximação. Questões que não respeitarem esta orientação serão desconsideradas.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
  • Vazão: Q=15\\ \mathrm{L/s}=0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Rendimento da bomba: \eta=75\%=0{,}75.
  • Cotas dos espelhos d’água dos reservatórios:
    • Reservatório inferior: z_{\text{res,inferior}}=150{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Reservatório superior: z_{\text{res,superior}}=200{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Perdas de carga totais:
    • Sucção: \Delta H_s=0{,}56\\ \mathrm{m}.
    • Recalque: \Delta H_r=17{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetros das tubulações:
    • Sucção: D_s=0{,}15\\ \mathrm{m}.
    • Recalque: D_r=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Eixo (cota geométrica) da bomba: z_{\text{eixo}}=151{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    O que é pedido:
    (a) as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba;
    (b) as cargas de pressão disponíveis no centro dessas seções (ou seja, as alturas de pressão p/\gamma nessas seções, em metros de coluna d’água);
    (c) a altura total de elevação fornecida pela bomba e a potência elétrica (hidráulica corrigida pelo rendimento) fornecida pela bomba.

Passo 2

Primeiro calculo as áreas das seções e as velocidades (continuidade). Fórmulas usadas:
A=\frac{\pi D^{2}}{4},\qquad v=\frac{Q}{A}.
Suction:
A_s=\frac{\pi D_s^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}15)^2}{4}=0{,}0176714586764\\ \mathrm{m^2}.
v_s=\frac{Q}{A_s}=\frac{0{,}015}{0{,}0176714586764}=0{,}8488263632\\ \mathrm{m/s}.
Recalque:
A_r=\frac{\pi D_r^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}=0{,}0078539816340\\ \mathrm{m^2}.
v_r=\frac{Q}{A_r}=\frac{0{,}015}{0{,}0078539816340}=1{,}9098593171\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calculo as cabeças de velocidade (velocity heads) em cada seção; fórmula:
\frac{v^2}{2g}.
Suction:
\frac{v_s^2}{2g}=\frac{(0{,}8488263632)^2}{2\cdot 10}=0{,}0360270063\\ \mathrm{m}.
Recalque:
\frac{v_r^2}{2g}=\frac{(1{,}9098593171)^2}{2\cdot 10}=0{,}1823769159\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Lembrando o conceito da linha de energia: em qualquer seção a linha de energia (head line) é
E=z+\frac{p}{\gamma}+\frac{v^2}{2g},
onde z é a cota geométrica, p/\gamma a carga de pressão (m), e v^2/(2g) a cabeça de velocidade. Entre o espelho livre do reservatório inferior e a entrada da bomba (secção de sucção) aplico Bernoulli com perdas de sucção \Delta H_s:
E_{\text{res,inferior}}=E_{\text{entrada bomba}}+\Delta H_s.
O espelho do reservatório está à pressão atmosférica ( p/\gamma=0) e a velocidade do reservatório é desprezível, logo
E_{\text{res,inferior}}=z_{\text{res,inferior}}=150{,}00\\ \mathrm{m}.
Assim a cota da linha de energia na entrada da bomba é
E_{\text{entrada}}=E_{\text{res,inferior}}-\Delta H_s=150{,}00-0{,}56=149{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 5

De forma análoga, entre a saída da bomba (secção de recalque) e o espelho do reservatório superior:
E_{\text{saida bomba}}=E_{\text{res,superior}}+\Delta H_r.
Como o espelho superior tem E_{\text{res,superior}}=z_{\text{res,superior}}=200{,}00\\ \mathrm{m}, temos
E_{\text{saida}}=200{,}00+17{,}92=217{,}92\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora calculo as cargas de pressão disponíveis no centro das seções de entrada e saída da bomba. O enunciado indica que o centro das seções coincide com a cota do eixo da bomba, ou seja z_{\text{centro}}=z_{\text{eixo}}=151{,}50\\ \mathrm{m}. A relação para a carga de pressão é
\frac{p}{\gamma}=E-z-\frac{v^2}{2g}.
Entrada (sucção):
\frac{p}{\gamma}\Big|_{\text{entrada}}=E_{\text{entrada}}-z_{\text{eixo}}-\frac{v_s^2}{2g} =149{,}44-151{,}50-0{,}0360270063=-2{,}0960270063\\ \mathrm{m}.
Saída (recalque):
\frac{p}{\gamma}\Big|_{\text{saida}}=E_{\text{saida}}-z_{\text{eixo}}-\frac{v_r^2}{2g} =217{,}92-151{,}50-0{,}1823769159=66{,}2376230841\\ \mathrm{m}.
Observação física rápida: no lado de sucção a carga de pressão é negativa (aspiração relativa à atmosfera), o que significa pressão abaixo da atmosférica na seção de entrada — isso é esperado em sucção.

Passo 7

Calculo a altura total de elevação fornecida pela bomba. A altura total (carga que a bomba adiciona ao fluido) é a diferença entre as cotas da linha de energia na saída e na entrada:
H_{\text{total}}=E_{\text{saida}}-E_{\text{entrada}}=217{,}92-149{,}44=68{,}48\\ \mathrm{m}.
Verificação alternativa (soma de elevação geométrica + perdas): elevação geométrica =z_{\text{res,superior}}-z_{\text{res,inferior}}=200{,}00-150{,}00=50{,}00\\ \mathrm{m}. Somando perdas e diferença de velocidade:
H_{\text{total}}=50{,}00+\Delta H_s+\Delta H_r+\left(\frac{v_r^2}{2g}-\frac{v_s^2}{2g}\right) =50{,}00+0{,}56+17{,}92+(0{,}1823769159-0{,}0360270063)=68{,}48\\ \mathrm{m},
confirmação consistente.

Passo 8

Calculo a potência hidráulica e a potência fornecida pela bomba (considerando rendimento). Fórmulas:
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{\text{total}},\qquad P_{\text{fornecida}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Para água tomo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}. Então
P_{\text{hid}}=1000\cdot 10\cdot 0{,}015\cdot 68{,}48=10{,}272{,}0\\ \mathrm{W}.
P_{\text{fornecida}}=\frac{10{,}272{,}0}{0{,}75}=13{,}696{,}0\\ \mathrm{W}.
Em unidades de quilowatts:
P_{\text{fornecida}}=13{,}6960\\ \mathrm{kW}.

Resposta

(a) Linha de energia na entrada da bomba: 149{,}4400\\ \mathrm{m}; linha de energia na saída da bomba: 217{,}9200\\ \mathrm{m}.
(b) Carga de pressão no centro da seção de entrada: -2{,}0960\\ \mathrm{m} (m.c.d.); carga de pressão no centro da seção de saída: 66{,}2376\\ \mathrm{m} (m.c.d.).
(c) Altura total de elevação: 68{,}4800\\ \mathrm{m}; Potência fornecida pela bomba: 13{,}6960\\ \mathrm{kW} (isto é 13{,}696{,}0\\ \mathrm{W}).

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