Em certa maternidade cerca de
dos bebês nascem com baixo peso. Seja a variável aleatória X: número de nascimentos até que nasçam 3 bebês com baixo peso.
(a)
Qual é a distribuição de probabilidade de
? (Escreva o nome e a fórmula de cálculo.)
(b)
Calcule
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: cerca de
dos bebês nascem com baixo peso. Ou seja, a probabilidade de “sucesso” (bebê de baixo peso) em cada nascimento é . - Informação: a variável aleatória
é o número de nascimentos até que ocorram 3 bebês com baixo peso. - Perguntas:
(a) Qual é a distribuição de probabilidade de? (nome e fórmula.)
(b) Calcule.
Passo 2
Identificar o tipo de situação (sem yet explicar a fórmula). A definição de
— “número de tentativas até obter
sucessos” — caracteriza a distribuição chamada de binomial negativa (também conhecida como distribuição de Pascal, quando
é inteiro positivo). A seguir vou explicar a fórmula e por que ela tem aquela forma.
Passo 3
Explicação didática da fórmula da binomial negativa (passo a passo):
- Queremos a probabilidade de que o terceiro sucesso ocorra exatamente no
-ésimo nascimento. Isso significa que: - No
-ésimo nascimento há um sucesso (um bebê de baixo peso). - Nos
nascimentos anteriores ocorrem exatamente sucessos (aqui , então sucessos antes) e o restante são fracassos.
- No
- O número de maneiras de escolher quais
das primeiras tentativas foram os sucessos é dado por . - Cada sequência com essa configuração tem probabilidade
, porque há sucessos no total (incluindo o último) e fracassos. - Portanto a fórmula (para
) é:
Aqui:
-
é o número de combinações, -
é o número de sucessos desejados ( no problema), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( ), -
é o número total de nascimentos necessários para atingir sucessos.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto (
e
). Escrever explicitamente a fórmula para este problema:
Agora vou calcular os termos necessários para responder (b).
Passo 5
Calcular
usando o complemento
. Como
só pode ser
, temos
Calculemos cada termo:
- Para
:
- Para
:
Somando:
Logo
Passo 6
Verificação alternativa (mesma resposta, outra visão):
é a probabilidade de haver menos do que
sucessos nos primeiros
nascimentos. Se
Binomial
, então
. Calculando
dá exatamente
, que confirma o resultado.
Resposta
(a) Distribuição binomial negativa (Pascal) com
e
:
(b)