Em certa maternidade cerca de 20 \% dos bebês nascem com baixo peso. Seja a variável aleatória X: número de nascimentos até que nasçam 3 bebês com baixo peso.
(a)
Qual é a distribuição de probabilidade de X ? (Escreva o nome e a fórmula de cálculo.)
(b)
Calcule P(X \geq 5).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: cerca de 20\% dos bebês nascem com baixo peso. Ou seja, a probabilidade de “sucesso” (bebê de baixo peso) em cada nascimento é p=0,20.
  • Informação: a variável aleatória X é o número de nascimentos até que ocorram 3 bebês com baixo peso.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a distribuição de probabilidade de X? (nome e fórmula.)
    (b) Calcule P(X \geq 5).

Passo 2

Identificar o tipo de situação (sem yet explicar a fórmula). A definição de X — “número de tentativas até obter r=3 sucessos” — caracteriza a distribuição chamada de binomial negativa (também conhecida como distribuição de Pascal, quando r é inteiro positivo). A seguir vou explicar a fórmula e por que ela tem aquela forma.

Passo 3

Explicação didática da fórmula da binomial negativa (passo a passo):
  • Queremos a probabilidade de que o terceiro sucesso ocorra exatamente no k-ésimo nascimento. Isso significa que:
    • No k-ésimo nascimento há um sucesso (um bebê de baixo peso).
    • Nos k-1 nascimentos anteriores ocorrem exatamente r-1 sucessos (aqui r=3, então 2 sucessos antes) e o restante são fracassos.
  • O número de maneiras de escolher quais r-1 das primeiras k-1 tentativas foram os sucessos é dado por \binom{k-1}{r-1}.
  • Cada sequência com essa configuração tem probabilidade p^{r}(1-p)^{k-r}, porque há r sucessos no total (incluindo o último) e k-r fracassos.
  • Portanto a fórmula (para k=r,r+1,\dots) é:
P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}\,p^{r}\,(1-p)^{k-r}.
Aqui:
  • \binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!} é o número de combinações,
  • r é o número de sucessos desejados ( r=3 no problema),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( p=0,20),
  • k é o número total de nascimentos necessários para atingir r sucessos.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto ( r=3 e p=0,20). Escrever explicitamente a fórmula para este problema:
P(X=k)=\binom{k-1}{2}\,(0,20)^{3}\,(0,80)^{\,k-3},\qquad k=3,4,5,\dots
Agora vou calcular os termos necessários para responder (b).

Passo 5

Calcular P(X\geq 5) usando o complemento \,P(X\geq 5)=1-P(X\leq 4)\,. Como X só pode ser 3,4,\dots, temos
P(X\leq 4)=P(X=3)+P(X=4).
Calculemos cada termo:
  • Para k=3:
P(X=3)=\binom{2}{2}(0,20)^{3}(0,80)^{0}=1\cdot(0,20)^{3}=0,20^{3}=0,008.
  • Para k=4:
P(X=4)=\binom{3}{2}(0,20)^{3}(0,80)^{1}=3\cdot0,20^{3}\cdot0,80=3\cdot0,008\cdot0,80=3\cdot0,0064=0,0192.
Somando:
P(X\leq 4)=0,008+0,0192=0,0272.
Logo
P(X\geq 5)=1-0,0272=0,9728.

Passo 6

Verificação alternativa (mesma resposta, outra visão): P(X\geq 5) é a probabilidade de haver menos do que 3 sucessos nos primeiros 4 nascimentos. Se Y\sim Binomial (n=4,p=0{,}20), então P(X\geq5)=P(Y\leq2). Calculando P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2) dá exatamente 0,4096+0,4096+0,1536=0,9728, que confirma o resultado.

Resposta

(a) Distribuição binomial negativa (Pascal) com r=3 e p=0{,}20:
P(X=k)=\binom{k-1}{2}(0,20)^{3}(0,80)^{\,k-3},\quad k=3,4,5,\dots
(b) P(X\geq 5)=0,9728

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