com os dados das tabelas calcule as correlações e as regressões lineares.
X Y
9 90
10 65
12 80
14 82
15 70
16 55
19 74
20 50
22 70
23 40
25 30
26 35
28 20
30 35
32 45

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as correlações e as regressões lineares usando os dados fornecidos nas tabelas de X e Y. Para isso, vamos usar algumas fórmulas matemáticas básicas de estatística, como o coeficiente de correlação de Pearson e a fórmula da reta de regressão linear. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vou te explicar cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar os cálculos. Temos duas variáveis: X e Y, com 15 pares de valores cada. Vou listar os valores e também calcular $ X^2 $, $ Y^2 $ e $ XY $ para cada par.
X Y $ X^2 $ $ Y^2 $ $ XY $
9 90 81 8100 810
10 65 100 4225 650
12 80 144 6400 960
14 82 196 6724 1148
15 70 225 4900 1050
16 55 256 3025 880
19 74 361 5476 1406
20 50 400 2500 1000
22 70 484 4900 1540
23 40 529 1600 920
25 30 625 900 750
26 35 676 1225 910
28 20 784 400 560
30 35 900 1225 1050
32 45 1024 2025 1440

Passo 3

Agora, vamos somar cada uma das colunas:
  • $ \Sigma X = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 + 16 + 19 + 20 + 22 + 23 + 25 + 26 + 28 + 30 + 32 = 271 $
  • $ \Sigma Y = 90 + 65 + 80 + 82 + 70 + 55 + 74 + 50 + 70 + 40 + 30 + 35 + 20 + 35 + 45 = 781 $
  • $ \Sigma X^2 = 81 + 100 + 144 + 196 + 225 + 256 + 361 + 400 + 484 + 529 + 625 + 676 + 784 + 900 + 1024 = 6965 $
  • $ \Sigma Y^2 = 8100 + 4225 + 6400 + 6724 + 4900 + 3025 + 5476 + 2500 + 4900 + 1600 + 900 + 1225 + 400 + 1225 + 2025 = 45725 $
  • $ \Sigma XY = 810 + 650 + 960 + 1148 + 1050 + 880 + 1406 + 1000 + 1540 + 920 + 750 + 910 + 560 + 1050 + 1440 = 13404 $

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ($ r $), que nos mostra a força e a direção da relação linear entre X e Y. A fórmula é:
r
Onde $ n = 15 $.
Vamos substituir os valores:
r = n Sigma XY - (Sigma X)(Sigma Y)raiz[n Sigma X^2 - (Sigma X)^2][n Sigma Y^2 - (Sigma Y)^2]
Primeiro, calculamos o numerador:
n = 15
r = 15 times 13404 - 271 times 781raiz[15 times 6965 - 271^2][15 times 45725 - 781^2]
15 times 13404 = 201060
Agora, o denominador:
271 times 781 = 211,651
201060 - 211,651 = -10,591
15 times 6965 = 104,475
271^2 = 73,441
104,475 - 73,441 = 31,034
15 times 45725 = 685,875
Agora, calculamos a raiz:
781^2 = 609,961
Finalmente, o coeficiente:
685,875 - 609,961 = 75,914

Passo 5

Agora, vamos encontrar a regressão linear de Y em função de X, ou seja, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados. A fórmula geral é:
Y = a + bX
Onde:
  • $ b $ é o coeficiente angular, dado por:
b
  • $ a $ é o coeficiente linear, dado por:
b = n Sigma XY - Sigma X Sigma Yn Sigma X^2 - (Sigma X)^2
Vamos calcular $ b $:
a
Agora, $ a $:
a = Sigma Y - b Sigma Xn
b
Então, a equação da regressão é:
b = 15 times 13404 - 271 times 78115 times 6965 - 271^2 = -10,59131,034 approx -0,3415

Resposta

A correlação entre X e Y é aproximadamente -0,2185, indicando uma fraca relação inversa. A equação da regressão linear é:
Y = 58,231 - 0,3415X

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