com os dados das tabelas calcule as correlações e as regressões lineares.
X | Y |
---|---|
9 | 90 |
10 | 65 |
12 | 80 |
14 | 82 |
15 | 70 |
16 | 55 |
19 | 74 |
20 | 50 |
22 | 70 |
23 | 40 |
25 | 30 |
26 | 35 |
28 | 20 |
30 | 35 |
32 | 45 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as correlações e as regressões lineares usando os dados fornecidos nas tabelas de X e Y. Para isso, vamos usar algumas fórmulas matemáticas básicas de estatística, como o coeficiente de correlação de Pearson e a fórmula da reta de regressão linear. Não se preocupa se esses termos parecem complicados agora, vou te explicar cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar os cálculos. Temos duas variáveis: X e Y, com 15 pares de valores cada. Vou listar os valores e também calcular $ X^2 $, $ Y^2 $ e $ XY $ para cada par.
X | Y | $ X^2 $ | $ Y^2 $ | $ XY $ |
---|---|---|---|---|
9 | 90 | 81 | 8100 | 810 |
10 | 65 | 100 | 4225 | 650 |
12 | 80 | 144 | 6400 | 960 |
14 | 82 | 196 | 6724 | 1148 |
15 | 70 | 225 | 4900 | 1050 |
16 | 55 | 256 | 3025 | 880 |
19 | 74 | 361 | 5476 | 1406 |
20 | 50 | 400 | 2500 | 1000 |
22 | 70 | 484 | 4900 | 1540 |
23 | 40 | 529 | 1600 | 920 |
25 | 30 | 625 | 900 | 750 |
26 | 35 | 676 | 1225 | 910 |
28 | 20 | 784 | 400 | 560 |
30 | 35 | 900 | 1225 | 1050 |
32 | 45 | 1024 | 2025 | 1440 |
Passo 3
Agora, vamos somar cada uma das colunas:
- $ \Sigma X = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 + 16 + 19 + 20 + 22 + 23 + 25 + 26 + 28 + 30 + 32 = 271 $
- $ \Sigma Y = 90 + 65 + 80 + 82 + 70 + 55 + 74 + 50 + 70 + 40 + 30 + 35 + 20 + 35 + 45 = 781 $
- $ \Sigma X^2 = 81 + 100 + 144 + 196 + 225 + 256 + 361 + 400 + 484 + 529 + 625 + 676 + 784 + 900 + 1024 = 6965 $
- $ \Sigma Y^2 = 8100 + 4225 + 6400 + 6724 + 4900 + 3025 + 5476 + 2500 + 4900 + 1600 + 900 + 1225 + 400 + 1225 + 2025 = 45725 $
- $ \Sigma XY = 810 + 650 + 960 + 1148 + 1050 + 880 + 1406 + 1000 + 1540 + 920 + 750 + 910 + 560 + 1050 + 1440 = 13404 $
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ($ r $), que nos mostra a força e a direção da relação linear entre X e Y. A fórmula é:
Onde $ n = 15 $.
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Agora, calculamos a raiz:
Finalmente, o coeficiente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a regressão linear de Y em função de X, ou seja, a equação da reta que melhor se ajusta aos dados. A fórmula geral é:
Onde:
- $ b $ é o coeficiente angular, dado por:
- $ a $ é o coeficiente linear, dado por:
Vamos calcular $ b $:
Agora, $ a $:
Então, a equação da regressão é:
Resposta
A correlação entre X e Y é aproximadamente -0,2185, indicando uma fraca relação inversa. A equação da regressão linear é: