com os dados das tabelas calcule as correlações e as regressões lineares.
X Y
12 56
15 107
18 80
20 135
23 137
25 65
26 178
28 125
29 169
31 180

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a correlação e as regressões lineares entre as variáveis X e Y que estão na tabela. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como média, variância, covariância e o coeficiente de correlação de Pearson. Basicamente, vamos ver como X e Y estão relacionados e qual é a melhor linha reta que descreve essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos valores de X e de Y. A média é só somar todos os valores e dividir pelo número de observações.
Para X:
barX = 12 + 15 + 18 + 20 + 23 + 25 + 26 + 28 + 29 + 3110 = 22710 = 22,7
Para Y:
barY = 56 + 107 + 80 + 135 + 137 + 65 + 178 + 125 + 169 + 18010 = 122210 = 122,2

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de cada valor de X e Y em relação às suas médias. Isso vai nos ajudar a encontrar a covariância.
(Xi - barX) e (Yi - barY)
Fazendo isso para cada par (X, Y):
X Y Xi - barX Yi - barY (Xi - barX)(Yi - barY)
12 56 -10,7 -66,2 711,34
15 107 -7,7 -15,2 117,04
18 80 -4,7 -42,2 198,34
20 135 -2,7 12,8 -34,56
23 137 0,3 14,8 4,44
25 65 2,3 -57,2 -131,56
26 178 3,3 55,8 183, (aproximadamente)
28 125 5,3 2,8 14,84
29 169 6,3 46,8 295, (aproximadamente)
31 180 8,3 57,8 479, (aproximadamente)

Passo 4

Vamos somar todas essas multiplicações para obter a covariância:
Cov(X,Y) = sum (Xi - barX)(Yi - barY)n = 711,34 + 117,04 + 198,34 - 34,56 + 4,44 -131,56 + 183 + 14,84 + 295 + 47910 approx 1527,410 = 152,74

Passo 5

Agora, vamos calcular as variâncias de X e de Y. A variância mede o quanto os valores variam em relação à média.
Para X:
Var(X) = sum (Xi - barX)^2n = (-10,7)^2 + (-7,7)^2 + dots + (8,3)^210 = 310,910 = 31,09
Para Y:
Var(Y) = sum (Yi - barY)^2n approx (−66,2)^2 + (−15,2)^2 + dots + (57,8)^210 approx 10559,610 = 1055,96

Passo 6

Com a covariância e as variâncias, podemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson, que mostra a força e a direção da relação linear entre X e Y.
r = Cov(X,Y)raizVar(X) cdot Var(Y) = 152,74raiz31,09 cdot 1055,96 approx 152,74raiz32840 approx 152,74181,2 approx 0,843
Isso indica uma forte correlação positiva entre X e Y.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes da regressão linear, que têm a forma:
Y = a + bX
Onde:
b = Cov(X,Y)Var(X) = 152,7431,09 approx 4,91
a = barY - bbarX = 122,2 - 4,91 times 22,7 approx 122,2 - 111,4 approx 10,8

Resposta

A correlação entre X e Y é aproximadamente 0,843, indicando uma forte relação positiva. A equação da regressão linear que relaciona Y com X é:
Y = 10,8 + 4,91X

Exercícios relacionados