Uma amostra de 30 elementos com SQT=1000 foi empregada para ajustar modelos de regressão linear em função de 2 varáveis auxiliares (X1; X2). Os modelos e os respectivos coeficientes de determinação (R^2) estão dispostos na tabela abaixo:
Modelo Expressão R^2
M1 Y=f(X1) 0,54
M2 Y=f(X2) 0,648
M3 Y=f(X1, X2) 0,720
Considere as seguintes assertivas:
5. H0: beta1 neq 0, a hipótese nula associada ao model M1 é verdadeira, pois F(o b s)=32,87>F(1 ; 28 ; 0,05)=4,20

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de regressão linear com uma amostra de 30 elementos e uma Soma dos Quadrados Totais (SQT) de 1000. A ideia é ajustar três modelos diferentes usando duas variáveis auxiliares, $ X_1 $ e $ X_2 X1 çã R^2 $) de cada modelo. O enunciado traz uma tabela com os modelos $ M_1 $, $ M_2 $ e $ M_3 $, e uma assertiva para analisarmos se a hipótese nula $ H_0: \beta_1 \neq 0 $ para o modelo $ M_1 $ é verdadeira ou não, com base no teste F observado.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • O que é o coeficiente de determinação ($ R^2 $) e como ele indica a qualidade do ajuste do modelo.
  • Como funciona o teste F na regressão linear para verificar a significância dos coeficientes.
  • Como comparar o valor observado do teste F com o valor crítico para decidir sobre a hipótese.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de determinação ($ R^2 $). Ele mede a proporção da variabilidade da variável dependente que é explicada pelo modelo. Ou seja, quanto maior o $ R^2 $, melhor o modelo está ajustando os dados.
No nosso caso, o modelo $ M_1 $ tem $ R^2 = 0,54 $, o que significa que 54% da variabilidade de $ Y $ é explicada por $ X_1 $.

Passo 3

Agora, sobre o teste F na regressão linear. Esse teste verifica se o modelo ajustado explica significativamente a variabilidade dos dados. A hipótese nula ($ H_0 $) geralmente afirma que todos os coeficientes de regressão são iguais a zero (ou seja, o modelo não explica nada), mas no nosso caso, a hipótese nula é $ H_0: \beta_1 \neq 0 $, o que significa que estamos testando se o coeficiente de $ X_1 $ é diferente de zero.
Para tomar uma decisão, comparamos o valor observado do teste F ($ F_{obs} $) com o valor crítico da distribuição F para os graus de liberdade específicos e o nível de significância (no caso, $ \alpha = 0,05 $).

Passo 4

No enunciado, foi dado que $ F_{obs} = 32,87 $ e o valor crítico $ F(1; 28; 0,05) = 4,20 $. Isso significa que nosso teste F observado é maior que o valor crítico.
Quando $ F_{obs} > F_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula. No contexto do nosso exercício, rejeitar $ H_0: \beta_1 \neq 0 $ implica que há evidências suficientes para afirmar que $ \beta_1 $ é diferente de zero.

Passo 5

No entanto, a assertiva afirma que a hipótese nula é verdadeira porque $ F_{obs} > F_{crítico} $. Isso está invertido. Na verdade, quando $ F_{obs} > F_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula, não a aceitamos.

Resposta

A assertiva está incorreta. Como $ F_{obs} = 32,87 $ é maior que $ F(1; 28; 0,05) = 4,20 $, rejeitamos $ H_0 $, então a hipótese nula não é verdadeira.

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