Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície x^{2}+y^{2}-e^{z}=0 no ponto P(1,1, \ln 2).
Plano: 2(x-1)+2(y-1)-2(z-\ln 2)=0,
Reta: (x, y, z)=(1,1, \ln 2)+t(2,2,-2).

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se o plano tangente e a reta normal à superfície \,x^{2}+y^{2}-e^{z}=0\, no ponto \,P(1,1,\ln 2).\n
  • Informação dada: a equação da superfície é \,x^{2}+y^{2}-e^{z}=0\, e o ponto de interesse é \,P(1,1,\ln 2).\n
  • Observação útil (tirada do enunciado): \,e^{\ln 2}=2\,.

Passo 2

Ideia chave (explicada devagarinho):\n
  • Uma superfície dada por uma equação do tipo \,F(x,y,z)=\text{constante}\, (aqui constante =0) tem a propriedade de que o gradiente de F em um ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto.\n
  • O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de F: \,\nabla F=(\partial F/\partial x,\; \partial F/\partial y,\; \partial F/\partial z)\,.\n
  • O plano tangente em P pode ser escrito pela equação \,\nabla F(P)\cdot(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0\,, porque o vetor (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}) pertence ao plano tangente e deve ser ortogonal ao normal \nabla F(P).\n
  • A reta normal é a reta que passa por P com direção dada por \nabla F(P).

Passo 3

Calcular o gradiente de F:\n
  • Definimos \,F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-e^{z}\,.\n
  • As derivadas parciais são:\n
    \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=2x,\n
    \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\n
    \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z}=-e^{z}.\n
  • Logo o gradiente é \displaystyle \nabla F(x,y,z)=(2x,\;2y,\;-e^{z}).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,1,\ln 2):\n
  • Substituindo (x,y,z)=(1,1,\ln 2) em \nabla F temos\n
    \displaystyle \nabla F(1,1,\ln 2)=(2\cdot 1,\;2\cdot 1,\;-e^{\ln 2})=(2,\;2,\;-2).\n
  • Portanto um vetor normal à superfície em P é \,(2,2,-2).

Passo 5

Construir a equação do plano tangente (passo a passo):\n
  • Usamos a fórmula do plano tangente com normal \nabla F(P):\n
    \displaystyle \nabla F(P)\cdot(x-1,y-1,z-\ln 2)=0.\n
  • Substituindo \nabla F(P)=(2,2,-2) obtemos\n 2(x-1)+2(y-1)-2(z-\ln 2)=0.\n
  • Se quiser simplificar algebraicamente, dividindo por 2 e reorganizando, temos\n x+y-z-2+\ln 2=0,que também pode ser escrita como z = x+y-2+\ln 2.

Passo 6

Construir a reta normal (passo a passo):\n
  • A reta normal passa por P(1,1,\ln 2) e tem direção igual ao vetor normal (2,2,-2).\n
  • A forma paramétrica da reta é, portanto,\n (x,y,z)=(1,1,\ln 2)+t(2,2,-2),\qquad t\in\mathbb{R}.\n
  • Alternativamente, a forma simétrica é\n \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-\ln 2}{-2}=t.

Passo 7

Resumo final: abaixo estão apenas as respostas solicitadas (plano tangente e reta normal) sem comentários adicionais.

Resposta

2(x-1)+2(y-1)-2(z-\ln 2)=0\n
(x,y,z)=(1,1,\ln 2)+t(2,2,-2)

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