Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:\n
- Pede-se o plano tangente e a reta normal à superfície
no ponto .\n - Informação dada: a equação da superfície é
e o ponto de interesse é .\n - Observação útil (tirada do enunciado):
.
Passo 2
Ideia chave (explicada devagarinho):\n
- Uma superfície dada por uma equação do tipo
(aqui constante ) tem a propriedade de que o gradiente de em um ponto é um vetor normal à superfície naquele ponto.\n - O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de
: \n - O plano tangente em
pode ser escrito pela equação , porque o vetor pertence ao plano tangente e deve ser ortogonal ao normal .\n - A reta normal é a reta que passa por
com direção dada por .
Passo 3
Calcular o gradiente de
:\n
- Definimos
\n - As derivadas parciais são:\n
\n
\n
\n - Logo o gradiente é
.
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:\n
- Substituindo
em temos\n
\n - Portanto um vetor normal à superfície em
é .
Passo 5
Construir a equação do plano tangente (passo a passo):\n
- Usamos a fórmula do plano tangente com normal
:\n
\n - Substituindo
obtemos\n \n - Se quiser simplificar algebraicamente, dividindo por
e reorganizando, temos\n que também pode ser escrita como
Passo 6
Construir a reta normal (passo a passo):\n
- A reta normal passa por
e tem direção igual ao vetor normal .\n - A forma paramétrica da reta é, portanto,\n
\n - Alternativamente, a forma simétrica é\n
Passo 7
Resumo final: abaixo estão apenas as respostas solicitadas (plano tangente e reta normal) sem comentários adicionais.