Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície
no ponto
.
Plano:
,
Reta:
.
Reta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto
da superfície dada:
- Determinar o plano tangente.
- Determinar a reta normal (reta que passa por
e é perpendicular ao plano tangente).
As informações dadas são:
e o ponto
Passo 2
Primeiro vamos definir a função de duas variáveis cuja superfície é o gráfico:
Precisamos das derivadas parciais
e
em um ponto. Breve explicação: a derivada parcial
é a taxa de variação de
em relação a
mantendo
fixo; usa-se a regra da cadeia quando a função é composta (aqui
composta com
).
Aplicando a regra da cadeia com
e
, temos
Analogamente,
Passo 3
Agora avaliamos as parciais no ponto
. Calculamos primeiro o denominador:
Portanto
Passo 4
Fórmula do plano tangente ao gráfico
em
: é a aproximação linear
Aqui
e as derivadas avaliadas já são
. Substituindo:
Passo 5
Podemos rearranjar a equação do plano para a forma dada no enunciado. Subtraindo o lado direito em ambos os lados:
que é a mesma equação escrita de maneira equivalente (ou, se preferir, multiplicando por
para evitar frações:
Passo 6
Agora a reta normal. Explicação: se a superfície é o gráfico de
, a normal ao plano tangente é o vetor
porque podemos ver o plano como nível da função
e o gradiente
é perpendicular ao nível. Avaliando em
obtemos o vetor normal
A reta normal que passa por
tem equação paramétrica (com parâmetro
):
Isto significa que para cada
escolhemos um ponto na reta deslocando
na direção do vetor normal.
Passo 7
Checagem rápida: se substituirmos
na equação do plano obtemos
, portanto
está no plano. O vetor
aparece como coeficientes da forma linear do plano e assim é normal ao plano, logo a reta definida é realmente a reta normal. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e confia no processo, você aprendeu o passo a passo!
Resposta
Plano:
\n
Reta:
Reta: