Determine o plano tangente e a reta normal para a superfície z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right) no ponto P(1,1, \ln 3).
Plano: \frac{2}{3}(x-1)+\frac{2}{3}(y-1)-(z-\ln 3)=0,
Reta: (x, y, z)=(1,1, \ln 3)+t(2 / 3,2 / 3,-1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto P(1,1,\ln 3) da superfície dada:
  • Determinar o plano tangente.
  • Determinar a reta normal (reta que passa por P e é perpendicular ao plano tangente).
As informações dadas são:
z=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)
e o ponto
P=(1,1,\ln 3).

Passo 2

Primeiro vamos definir a função de duas variáveis cuja superfície é o gráfico:
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).
Precisamos das derivadas parciais \,f_{x} e f_{y} em um ponto. Breve explicação: a derivada parcial \,f_{x}(x,y) é a taxa de variação de f em relação a x mantendo y fixo; usa-se a regra da cadeia quando a função é composta (aqui \ln composta com x^{2}+y^{2}+1).
Aplicando a regra da cadeia com u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1 e f=\ln u, temos
f_{x}(x,y)=\frac{1}{u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}.
Analogamente,
f_{y}(x,y)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 3

Agora avaliamos as parciais no ponto (1,1). Calculamos primeiro o denominador:
x^{2}+y^{2}+1 = 1^{2}+1^{2}+1 = 3.
Portanto
f_{x}(1,1)=\frac{2\cdot 1}{3}=\frac{2}{3}, \qquad f_{y}(1,1)=\frac{2\cdot 1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Fórmula do plano tangente ao gráfico z=f(x,y) em (x_{0},y_{0},z_{0}): é a aproximação linear
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,\ln 3) e as derivadas avaliadas já são \frac{2}{3}. Substituindo:
z-\ln 3=\frac{2}{3}(x-1)+\frac{2}{3}(y-1).

Passo 5

Podemos rearranjar a equação do plano para a forma dada no enunciado. Subtraindo o lado direito em ambos os lados:
\frac{2}{3}(x-1)+\frac{2}{3}(y-1)-(z-\ln 3)=0,
que é a mesma equação escrita de maneira equivalente (ou, se preferir, multiplicando por 3 para evitar frações:
2(x-1)+2(y-1)-3(z-\ln 3)=0).

Passo 6

Agora a reta normal. Explicação: se a superfície é o gráfico de f, a normal ao plano tangente é o vetor
\bigl(f_{x}(x_{0},y_{0}),\,f_{y}(x_{0},y_{0}),\,-1\bigr),
porque podemos ver o plano como nível da função F(x,y,z)=f(x,y)-z e o gradiente \nabla F=(f_{x},f_{y},-1) é perpendicular ao nível. Avaliando em (1,1) obtemos o vetor normal
\mathbf{n}=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-1\right).
A reta normal que passa por P tem equação paramétrica (com parâmetro t):
(x,y,z)=(1,1,\ln 3)+t\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-1\right).
Isto significa que para cada t escolhemos um ponto na reta deslocando P na direção do vetor normal.

Passo 7

Checagem rápida: se substituirmos (x,y,z)=(1,1,\ln 3) na equação do plano obtemos 0, portanto P está no plano. O vetor \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},-1\right) aparece como coeficientes da forma linear do plano e assim é normal ao plano, logo a reta definida é realmente a reta normal. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e confia no processo, você aprendeu o passo a passo!

Resposta

Plano: \displaystyle \frac{2}{3}(x-1)+\frac{2}{3}(y-1)-(z-\ln 3)=0\n
Reta: \displaystyle (x,y,z)=(1,1,\ln 3)+t\Bigl(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-1\Bigr)

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