Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
\|u+v\| \leq\|u\|+\|v\|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2, vale a desigualdade
\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|.
Isso é conhecido como desigualdade triangular. Para provar, vamos usar as propriedades do produto interno (dot product) e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Recordando que, em \mathbb{R}^2, o produto interno satisfaz
\langle u,v\rangle \le \|u\|\,\|v\|,
que é exatamente a desigualdade de Cauchy–Schwarz. Também sabemos que
\|u+v\|^2 = \langle u+v,\,u+v\rangle.
Expandindo, obtemos
\|u+v\|^2 = \langle u,u\rangle + 2\langle u,v\rangle + \langle v,v\rangle = \|u\|^2 + 2\langle u,v\rangle + \|v\|^2.

Passo 3

Pelo fato de \langle u,v\rangle \le \|u\|\,\|v\|, segue
\|u+v\|^2 \le \|u\|^2 + 2\,\|u\|\,\|v\| + \|v\|^2 = (\|u\|+\|v\|)^2.
Como ambos os lados são não negativos, ao extrairmos a raiz quadrada obtemos a desigualdade triangular:
\|u+v\|\le \|u\|+\|v\|.

Passo 4

Geometricamente, se representamos u e v como dois lados de um triângulo saindo da mesma origem, então u+v é o vetor que vai do início de u até o fim de v quando colocado em ponta de u. A desigualdade diz que o comprimento do lado “diagonal” \|u+v\| nunca excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados \|u\|+\|v\|.

Resposta

\displaystyle \|u+v\|\le \|u\|+\|v\|, que é a desigualdade triangular. Geometricamente, o comprimento da diagonal de um paralelogramo (ou o lado de um triângulo formado pelos vetores) é no máximo a soma dos comprimentos dos dois lados adjacentes.

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