Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2} \Leftrightarrow u \perp v

Passo 1

No enunciado temos dois vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e queremos mostrar que
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}
se, e somente se, u\perp v. Vamos usar a relação entre norma e produto escalar para fazer a prova.

Passo 2

Pela definição de norma em termos de produto escalar, temos
\|u+v\|^{2}=(u+v)\cdot(u+v).

Passo 3

Expandindo o produto escalar, obtemos
\|u+v\|^{2}=(u+v)\cdot(u+v) = u\cdot u + 2\,u\cdot v + v\cdot v = \|u\|^{2} + 2\,u\cdot v + \|v\|^{2}.

Passo 4

Da igualdade acima segue que
\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2\,u\cdot v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad u\cdot v=0,
que é exatamente a definição de u\perp v.

Passo 5

Geometricamente, em \mathbb{R}^2, quando u e v são perpendiculares eles formam um triângulo retângulo cujos catetos são u e v e hipotenusa u+v. A identidade demonstrada coincide com o Teorema de Pitágoras aplicado a esses vetores.

Resposta

\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\iff u\perp v

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