Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
u+v \perp u-v \Leftrightarrow\|u\|=\|v\|

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove e interprete geometricamente a equivalência (u+v)\perp(u-v) se e somente se \|u\|=\|v\|.
O conteúdo principal é produto escalar e norma em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para testar perpendicularidade, usamos que dois vetores \alpha e \beta são perpendiculares se, e somente se, \alpha\cdot\beta=0.
Logo, avaliamos
(u+v)\cdot(u-v).
Desenvolvendo, vem
(u+v)\cdot(u-v) = u\cdot u - u\cdot v + v\cdot u - v\cdot v = \|u\|^2 - \|v\|^2,
pois u\cdot v = v\cdot u.

Passo 3

Portanto,
(u+v)\perp(u-v) \;\Longleftrightarrow\; (u+v)\cdot(u-v)=0 \;\Longleftrightarrow\; \|u\|^2-\|v\|^2=0 \;\Longleftrightarrow\; \|u\|^2=\|v\|^2 \;\Longleftrightarrow\; \|u\|=\|v\|.

Passo 4

Geometricamente, imagine o paralelogramo cujos lados são os vetores u e v.
As suas diagonais são exatamente u+v e u-v.
Sabe-se que as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares somente quando ele é um losango, isto é, quando todos os lados têm mesmo comprimento. Daí a condição \|u\|=\|v\|.

Resposta

(u+v)\perp(u-v)\Leftrightarrow\|u\|=\|v\|

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