Dados
quaisquer, demonstre e interprete geometricamente as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a desigualdade
que é conhecida como desigualdade triangular inversa. Vamos usar a desigualdade triangular usual
para escolher adequadamente os vetores
e
.
Passo 2
Escolhemos
e
. Então, aplicando a desigualdade triangular a
temos
Rearranjando, obtemos
Passo 3
Para a outra desigualdade, trocamos os papéis de
e
. Como
aplicamos a desigualdade triangular a
,
e obtemos
Passo 4
Agora temos duas desigualdades compatíveis:
Elas equivalem a dizer
isto é,
Passo 5
Interpretação geométrica: desenhe o triângulo de vértices
(origem),
(ponta do vetor
) e
(ponta do vetor
). A desigualdade afirma que a diferença entre os comprimentos
e
não pode ultrapassar o comprimento do lado
.
Resposta
Demonstração completa da desigualdade