Dados:
\underline{v}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right] \underline{\underline{\tau}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ -2 & -1 & 1\end{array}\right], calcular:
(d) \underline{v} \cdot \underline{\tau} \cdot \underline{v}

Passo 1

O enunciado dá o vetor \underline{v}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}
e a matriz \underline{\underline{\tau}}=\begin{pmatrix}1&2&-2\\\ 2&3&-1\\\ -2&-1&1\end{pmatrix},
e pede o escalar \underline{v}\cdot\underline{\underline{\tau}}\cdot\underline{v}, isto é, a forma quadrática \underline{v}^{T}\,\tau\,\underline{v}.
Para resolver usamos multiplicação de matriz por vetor e depois produto escalar.

Passo 2

Calcular o vetor intermediário \tau\,\underline{v}.
\tau\,\underline{v} =\begin{pmatrix}1&2&-2\\\ 2&3&-1\\\ -2&-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 + (-2)\cdot(-3)\\\\ 2\cdot2 + 3\cdot1 + (-1)\cdot(-3)\\\\ -2\cdot2 + (-1)\cdot1 + 1\cdot(-3) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}10\\\ 10\\\ -8\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \underline{v}\cdot(\tau\,\underline{v}).
\underline{v}\cdot(\tau\,\underline{v}) =[2,1,-3]\cdot[10,10,-8] =2\cdot10 + 1\cdot10 + (-3)\cdot(-8) =20 + 10 + 24 =54.

Resposta

54

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