Demonstrar que \underset{\underline{\tau}}{\tau}: \underline{\underline{\kappa}}=0, se \underset{\underline{\tau}}{\tau} e \underline{\underline{\kappa}} são tensores simétrico e anti-simétrico, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a contração dupla
\tau:\kappa \;=\;\tau_{ij}\,\kappa_{ij}
é nula quando \tau é um tensor simétrico e \kappa é um tensor anti-simétrico. O conteúdo aqui é álgebra de tensores, mais especificamente uso das propriedades de simetria na contração de índices.
Passo 2
Escrevemos explicitamente as propriedades: como \tau é simétrico,
\tau_{ij} = \tau_{ji},
e como \kappa é anti-simétrico,
\kappa_{ij} = -\,\kappa_{ji}.
Passo 3
Definimos o escalar de interesse
T \;=\;\tau_{ij}\,\kappa_{ij}.
Agora trocamos os índices i\leftrightarrow j na soma (lembrando que são índices dummies):
T = \tau_{ji}\,\kappa_{ji}.
Usando a simetria de \tau e a anti-simetria de \kappa, isto é, \tau_{ji}=\tau_{ij} e \kappa_{ji}=-\kappa_{ij}, obtemos
T = \tau_{ij}\,\bigl(-\kappa_{ij}\bigr) = -\,\tau_{ij}\,\kappa_{ij} = -\,T.