Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasileiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
A amostra do estado 1 da região norte apresenta os seguintes valores: 584, 542, 589, 432, 486, 497

Passo 1

O enunciado que você mandou traz uma situação geral (foram simuladas amostras usando médias e desvios do INEP para dois estados) e dá explicitamente a amostra do estado 1 (região norte). Primeiro vamos listar exatamente o que foi fornecido e o que falta:
  • Valores da amostra do estado 1 (peguei estes valores do enunciado): \;584,\;542,\;589,\;432,\;486,\;497.
  • Foi dito que as notas têm distribuição normal (essa informação é importante para testes e intervalos de confiança).
  • Não foi especificada qual pergunta devemos responder (por exemplo: comparar médias entre estados? testar hipótese? estimar média com intervalo de confiança?).
  • Não foram fornecidos os dados (nem a amostra) do estado 2, nem os valores de média e desvio padrão populacional do INEP que o enunciado mencionou.
Como não há uma pergunta explícita nem os dados do segundo estado, eu vou:
  • Calcular e explicar passo a passo as estatísticas descritivas importantes da amostra do estado 1 (média amostral, variância amostral, desvio padrão amostral), porque isso é o mínimo útil e costuma ser pedido.
  • Mostrar como construir um intervalo de confiança de 95\% para a média dessa amostra (exemplo prático que costuma cair na prova).
  • Explicar o que faltaria e qual procedimento usar caso a pergunta fosse comparar os dois estados (que é um caso muito comum).

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x} — passo a passo e com explicação didática.
  • Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o tamanho da amostra e x_i são as observações.
  • Aqui n=6 e as observações são \;584,\;542,\;589,\;432,\;486,\;497.
  • Soma das observações (mostrando a conta):
584+542+589+432+486+497 = 3130.
  • Portanto
\bar{x}=\frac{3130}{6}=521,\overline{6}\approx 521,667.
Interpretação rápida: a média amostral é a melhor estimativa pontual da média verdadeira das notas do estado 1 com base nesta amostra.

Passo 3

Cálculo da variância amostral s^2 e do desvio padrão amostral s — passo a passo detalhado.
  • Fórmula da variância amostral (usada na maioria das provas quando estimamos a variância da população pela amostra):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2.
Explicação da razão de n-1: usamos n-1 (correção de Bessel) para que a estimativa fique não viciada quando inferimos a variância da população a partir da amostra. Em palavras simples: perder uma liberdade porque usamos a própria média amostral no cálculo.
  • Para evitar arredondamentos intermediários, faço o cálculo exato com frações: note que x_i-\bar{x} = \dfrac{6x_i-3130}{6} porque \bar{x}=\dfrac{3130}{6}. Então
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{36}\sum (6x_i-3130)^2.
  • Calculei 6x_i e 6x_i-3130 para cada observação (mostrando os valores que usei):
\begin{aligned} 6\cdot 584 -3130 &= 3504-3130 = 374,\\\\ 6\cdot 542 -3130 &= 3252-3130 = 122,\\\\ 6\cdot 589 -3130 &= 3534-3130 = 404,\\\\ 6\cdot 432 -3130 &= 2592-3130 = -538,\\\\ 6\cdot 486 -3130 &= 2916-3130 = -214,\\\\ 6\cdot 497 -3130 &= 2982-3130 = -148. \end{aligned}
  • Quadrados desses numeradores:
374^2=139876,\;122^2=14884,\;404^2=163216,\;(-538)^2=289444,\;(-214)^2=45796,\;(-148)^2=21904.
  • Soma dos quadrados dos numeradores:
139876+14884+163216+289444+45796+21904 = 675120.
  • Logo a soma dos quadrados das diferenças é
\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{675120}{36}=18753,\overline{3}.
  • Agora a variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{18753,\overline{3}}{5}=3750,\overline{6}\approx 3750,667.
  • E o desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{3750,\overline{6}}\approx 61,243.
Interpretação: o desvio padrão amostral s mede a dispersão das notas em torno da média amostral.

Passo 4

Como fazer essas contas na prova sem calculadora (truques e dicas práticos) — explicação didática.
  • Para a média: some os números com cuidado em pares que somem fácil (por exemplo, 584+432=1016, 542+486=1028, 589+497=1086; soma total 1016+1028+1086=3130), depois divida por n.
  • Para a variância manualmente: se números têm casas inteiras, usar a técnica de multiplicar por n (como fiz com o fator 6) ajuda a evitar arredondamentos; outra técnica é usar uma tabela com x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2 coluna a coluna.
  • Lembre-se de usar n-1 quando quiser estimar a variância populacional a partir da amostra (a menos que o enunciado peça a variância amostral sem correção).
  • Se tiver que dar o resultado num número limitado de casas decimais, arredonde só no final.

Passo 5

Exemplo prático adicional útil para prova: intervalo de confiança de 95\% para a média desta amostra.
  • Como a distribuição é normal e a variância populacional é desconhecida, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\%:
\bar{x}\pm t_{n-1,\,\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{n-1,\,\alpha/2} é o quantil da t com n-1 graus de liberdade.
  • Aqui n=6, então graus de liberdade =5. Para 95\% (ou seja, \alpha=0,05), o valor crítico é aproximadamente t_{5,\,0,025}\approx 2,5706 (valor presente nas tabelas de t).
  • Calcule a margem de erro:
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx \frac{61,243}{\sqrt{6}}\approx \frac{61,243}{2,44949}\approx 25,003.
\text{margem} = 2,5706\times 25,003 \approx 64,26.
  • Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm\text{margem} \Rightarrow 521,667 \pm 64,26,
ou seja
(521,667-64,26,\;521,667+64,26)\approx (457,41,\;585,93).
Interpretação prática: com 95\% de confiança, a média verdadeira das notas do estado 1 está aproximadamente entre \;457,41 e \;585,93.

Passo 6

O que falta se a pergunta for comparar os dois estados e qual procedimento usar (resumo prático para a prova).
  • Falta a amostra (ou médias/desvios) do estado 2; sem isso não dá para comparar.
  • Se a tarefa for comparar médias de dois estados e as duas amostras forem independentes e as distribuições normais (como dito), os procedimentos comuns são:
    • Teste t de Student com variâncias iguais (pooled) — só se houver justificativa razoável para assumir variâncias iguais.
    • Teste de Welch (t de Welch) — indicado quando não se pode assumir variâncias iguais; é o mais seguro na prática.
  • Estatística do teste de Welch (fórmula):
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}},
com graus de liberdade aproximados por uma fórmula de Welch (que a prova costuma aceitar ou fornecer tabela/calculadora).
  • Para montar intervalo de confiança da diferença de médias segue a mesma linha (usar t adequado e o erro padrão da diferença).
Se você quiser, eu já faço o passo a passo do teste de hipótese ou do intervalo da diferença assim que você mandar os dados (ou a média/desvio populacional do INEP) do segundo estado — eu explico cada fórmula e faço as contas detalhadas para você.

Resposta

\bar{x}=521,667
s\approx 61,243
Intervalo de confiança de 95\% para a média: (457,41,\;585,93)

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