Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasileiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
A amostra do estado 1 da região norte apresenta os seguintes valores: 584, 542, 589, 432, 486, 497
A amostra do estado 1 da região norte apresenta os seguintes valores: 584, 542, 589, 432, 486, 497
Passo 1
O enunciado que você mandou traz uma situação geral (foram simuladas amostras usando médias e desvios do INEP para dois estados) e dá explicitamente a amostra do estado 1 (região norte). Primeiro vamos listar exatamente o que foi fornecido e o que falta:
- Valores da amostra do estado 1 (peguei estes valores do enunciado):
- Foi dito que as notas têm distribuição normal (essa informação é importante para testes e intervalos de confiança).
- Não foi especificada qual pergunta devemos responder (por exemplo: comparar médias entre estados? testar hipótese? estimar média com intervalo de confiança?).
- Não foram fornecidos os dados (nem a amostra) do estado 2, nem os valores de média e desvio padrão populacional do INEP que o enunciado mencionou.
Como não há uma pergunta explícita nem os dados do segundo estado, eu vou:
- Calcular e explicar passo a passo as estatísticas descritivas importantes da amostra do estado 1 (média amostral, variância amostral, desvio padrão amostral), porque isso é o mínimo útil e costuma ser pedido.
- Mostrar como construir um intervalo de confiança de
para a média dessa amostra (exemplo prático que costuma cair na prova). - Explicar o que faltaria e qual procedimento usar caso a pergunta fosse comparar os dois estados (que é um caso muito comum).
Passo 2
Cálculo da média amostral
— passo a passo e com explicação didática.
- Fórmula da média amostral:
onde
é o tamanho da amostra e
são as observações.
-
Aqui
e as observações são -
Soma das observações (mostrando a conta):
- Portanto
Interpretação rápida: a média amostral é a melhor estimativa pontual da média verdadeira das notas do estado 1 com base nesta amostra.
Passo 3
Cálculo da variância amostral
e do desvio padrão amostral
— passo a passo detalhado.
- Fórmula da variância amostral (usada na maioria das provas quando estimamos a variância da população pela amostra):
Explicação da razão de
: usamos
(correção de Bessel) para que a estimativa fique não viciada quando inferimos a variância da população a partir da amostra. Em palavras simples: perder uma liberdade porque usamos a própria média amostral no cálculo.
- Para evitar arredondamentos intermediários, faço o cálculo exato com frações: note que
porque . Então
- Calculei
e para cada observação (mostrando os valores que usei):
- Quadrados desses numeradores:
- Soma dos quadrados dos numeradores:
- Logo a soma dos quadrados das diferenças é
- Agora a variância amostral:
- E o desvio padrão amostral é a raiz quadrada:
Interpretação: o desvio padrão amostral
mede a dispersão das notas em torno da média amostral.
Passo 4
Como fazer essas contas na prova sem calculadora (truques e dicas práticos) — explicação didática.
- Para a média: some os números com cuidado em pares que somem fácil (por exemplo,
, , ; soma total ), depois divida por . - Para a variância manualmente: se números têm casas inteiras, usar a técnica de multiplicar por
(como fiz com o fator ) ajuda a evitar arredondamentos; outra técnica é usar uma tabela com e coluna a coluna. - Lembre-se de usar
quando quiser estimar a variância populacional a partir da amostra (a menos que o enunciado peça a variância amostral sem correção). - Se tiver que dar o resultado num número limitado de casas decimais, arredonde só no final.
Passo 5
Exemplo prático adicional útil para prova: intervalo de confiança de
para a média desta amostra.
- Como a distribuição é normal e a variância populacional é desconhecida, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição
com graus de liberdade. - Fórmula do intervalo de confiança de
:
onde
é o quantil da
com
graus de liberdade.
-
Aqui
, então graus de liberdade . Para (ou seja, ), o valor crítico é aproximadamente (valor presente nas tabelas de ). -
Calcule a margem de erro:
- Intervalo de confiança:
ou seja
Interpretação prática: com
de confiança, a média verdadeira das notas do estado 1 está aproximadamente entre
e
Passo 6
O que falta se a pergunta for comparar os dois estados e qual procedimento usar (resumo prático para a prova).
- Falta a amostra (ou médias/desvios) do estado 2; sem isso não dá para comparar.
- Se a tarefa for comparar médias de dois estados e as duas amostras forem independentes e as distribuições normais (como dito), os procedimentos comuns são:
- Teste t de Student com variâncias iguais (pooled) — só se houver justificativa razoável para assumir variâncias iguais.
- Teste de Welch (t de Welch) — indicado quando não se pode assumir variâncias iguais; é o mais seguro na prática.
- Estatística do teste de Welch (fórmula):
com graus de liberdade aproximados por uma fórmula de Welch (que a prova costuma aceitar ou fornecer tabela/calculadora).
- Para montar intervalo de confiança da diferença de médias segue a mesma linha (usar
adequado e o erro padrão da diferença).
Se você quiser, eu já faço o passo a passo do teste de hipótese ou do intervalo da diferença assim que você mandar os dados (ou a média/desvio populacional do INEP) do segundo estado — eu explico cada fórmula e faço as contas detalhadas para você.
Resposta
Intervalo de confiança de