Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 111 por 100 \mathrm{~km}, \mathrm{com} desvio padrão de 0,8 \mathrm{l}. Uma revista decidi testar essa afirmação e analisa 35 carros desta marca, obtendo 12,41 por 100 km , como o consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de 10 \%, o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica?

Passo 1

O enunciado pede que a revista, ao nível de significância de 10\%, avalie o anúncio da fábrica sobre o consumo médio dos carros. Em outras palavras: decidir se os dados coletados pela revista são compatíveis com a afirmação da fábrica ou se devemos rejeitá‑la.
Informações dadas:


\bullet Consumo anunciado (hipotético): \mu_0 = 11,1 litros por 100\\ \mathrm{km}.
\bullet Desvio padrão conhecido da população: \sigma = 0,8\\ \mathrm{l}.
\bullet Tamanho da amostra: n = 35.
\bullet Média amostral obtida pela revista: \bar{X} = 12,41 litros por 100\\ \mathrm{km}.
\bullet Nível de significância: \alpha = 0,10.

O que temos que decidir: aceitar ou rejeitar a afirmação da fábrica com base na amostra da revista.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): como o enunciado fornece o desvio padrão populacional \sigma conhecido, o procedimento apropriado é o teste z para a média. Esse teste usa a estatística padronizada que, sob a hipótese nula, tem distribuição normal padrão N(0,1). Não usamos o teste t porque \sigma é conhecido; o teste z é mais direto e adequado.

Passo 3

Formulação das hipóteses (explicitando o que cada símbolo significa):


\displaystyle H_0:\\ \mu = \mu_0 = 11,1 (a média real é a anunciada)
\displaystyle H_1:\\ \mu \neq 11,1 (a média real é diferente da anunciada)

Observação: escolhi o teste bilateral ( \neq) porque a revista quer verificar se o anúncio é verdadeiro ou não (ou seja, qualquer diferença, maior ou menor, contaria). Se a intenção fosse apenas checar se o consumo é maior, teríamos um teste unilateral; mas o enunciado pede avaliar o anúncio em geral, então adotamos bilateral.

Passo 4

Definição da estatística de teste e seu raciocínio (aula rápida):
Quando \sigma é conhecida, a estatística z é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicação dos termos:

\bullet \bar{X} é a média observada na amostra.
\bullet \mu_0 é a média anunciada sob H_0.
\bullet \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média — ele mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional.
\bullet Sob H_0, Z possui aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1).

Região crítica para um teste bilateral ao nível \alpha: rejeitamos H_0 se |Z|>z_{1-\alpha/2}. Para \alpha=0,10 temos \alpha/2=0,05 e z_{1-0,05}=z_{0,95}\approx 1,645.

Passo 5

Cálculo do erro padrão passo a passo:
\sqrt{n}=\sqrt{35}\approx 5,91608.
\text{Erro padrão }SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{\sqrt{35}}\approx\frac{0,8}{5,91608}\approx 0,1352.ã

Passo 6

Cálculo da estatística Z passo a passo:
\bar{X}-\mu_0 = 12,41-11,1 = 1,31.
Z=\frac{1,31}{0,1352}\approx 9,69.
Interpretação: o valor de Z indica quantos erros padrões a média amostral está afastada da média anunciada. Aqui são cerca de 9,69 erros padrões — um afastamento enorme.

Passo 7

Decisão do teste e p‑valor (explicação prática):
Região crítica bilateral: |Z|>1,645.
Calculamos |Z|=9,69 e claramente 9,69>1,645, logo rejeitamos H_0.
Se quisermos o p‑valor: para Z=9,69 o p‑valor bilateral é 2\cdot P(Z>9,69), que é praticamente 0 (extremamente pequeno, muito menor que 0,10). Isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 8

Interpretação em linguagem simples e incentivo:
A amostra da revista fornece evidência muito forte de que o consumo médio real difere do anunciado; especificamente, a média amostral é muito maior do que a anunciada ( 12,41 vs 11,1), então concluímos que o anúncio da fábrica não é compatível com os dados — os carros parecem consumir mais do que o que a fábrica afirmou. Relaxa: a conta é direta — o desvio padrão conhecido e a amostra razoavelmente grande deixam a conclusão bem clara. Você já mandou bem ao entender cada passo!

Resposta

Rejeita‑se H_0. Conclusão: ao nível de 10\%, há evidência de que o consumo médio real difere do anunciado; na prática, os dados indicam que os carros consomem mais do que o anunciado ( \bar{X}=12,41 vs \mu_0=11,1).

Exercícios relacionados