Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 111 por
desvio padrão de
. Uma revista decidi testar essa afirmação e analisa 35 carros desta marca, obtendo 12,41 por 100 km , como o consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de
, o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica?
Passo 1
O enunciado pede que a revista, ao nível de significância de
, avalie o anúncio da fábrica sobre o consumo médio dos carros. Em outras palavras: decidir se os dados coletados pela revista são compatíveis com a afirmação da fábrica ou se devemos rejeitá‑la.
Informações dadas:
Consumo anunciado (hipotético):
litros por
.
Desvio padrão conhecido da população:
.
Tamanho da amostra:
.
Média amostral obtida pela revista:
litros por
.
Nível de significância:
.
O que temos que decidir: aceitar ou rejeitar a afirmação da fábrica com base na amostra da revista.
O que temos que decidir: aceitar ou rejeitar a afirmação da fábrica com base na amostra da revista.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): como o enunciado fornece o desvio padrão populacional
conhecido, o procedimento apropriado é o teste z para a média. Esse teste usa a estatística padronizada que, sob a hipótese nula, tem distribuição normal padrão
. Não usamos o teste t porque
é conhecido; o teste z é mais direto e adequado.
Passo 3
Formulação das hipóteses (explicitando o que cada símbolo significa):
(a média real é a anunciada)
(a média real é diferente da anunciada)
Observação: escolhi o teste bilateral ( ) porque a revista quer verificar se o anúncio é verdadeiro ou não (ou seja, qualquer diferença, maior ou menor, contaria). Se a intenção fosse apenas checar se o consumo é maior, teríamos um teste unilateral; mas o enunciado pede avaliar o anúncio em geral, então adotamos bilateral.
Observação: escolhi o teste bilateral (
Passo 4
Definição da estatística de teste e seu raciocínio (aula rápida):
Quando é conhecida, a estatística z é
Quando
Explicação dos termos:
é a média observada na amostra.
é a média anunciada sob
.
é o erro padrão da média — ele mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional.
Sob
,
possui aproximadamente a distribuição normal padrão
.
Região crítica para um teste bilateral ao nível : rejeitamos
se
. Para
temos
e
.
Região crítica para um teste bilateral ao nível
Passo 5
Cálculo do erro padrão passo a passo:
Passo 6
Cálculo da estatística
passo a passo:
Interpretação: o valor de
indica quantos erros padrões a média amostral está afastada da média anunciada. Aqui são cerca de
erros padrões — um afastamento enorme.
Passo 7
Decisão do teste e p‑valor (explicação prática):
Região crítica bilateral: .
Calculamos e claramente
, logo rejeitamos
.
Região crítica bilateral:
Calculamos
Se quisermos o p‑valor: para
o p‑valor bilateral é
, que é praticamente
(extremamente pequeno, muito menor que
). Isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 8
Interpretação em linguagem simples e incentivo:
A amostra da revista fornece evidência muito forte de que o consumo médio real difere do anunciado; especificamente, a média amostral é muito maior do que a anunciada ( vs
), então concluímos que o anúncio da fábrica não é compatível com os dados — os carros parecem consumir mais do que o que a fábrica afirmou. Relaxa: a conta é direta — o desvio padrão conhecido e a amostra razoavelmente grande deixam a conclusão bem clara. Você já mandou bem ao entender cada passo!
A amostra da revista fornece evidência muito forte de que o consumo médio real difere do anunciado; especificamente, a média amostral é muito maior do que a anunciada (
Resposta
Rejeita‑se
. Conclusão: ao nível de
, há evidência de que o consumo médio real difere do anunciado; na prática, os dados indicam que os carros consomem mais do que o anunciado (
vs
).