Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasileiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
A amostra do estado 2 da região sudeste apresenta os seguintes valores: 501, 682, 465, 563, 750, 417
Determine o intervalo de confiança de 95% para a média da nota de matemática deste estado 2 em 2022. (3 pontos)
A amostra do estado 2 da região sudeste apresenta os seguintes valores: 501, 682, 465, 563, 750, 417
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o intervalo de confiança de
para a média da nota de matemática do estado 2 em 2022, usando a amostra fornecida.
Dados fornecidos (amostra do estado 2):
Informações relevantes (resumidas):
Passo 2
Calcular a média amostral
. Vou mostrar a fórmula e aplicar aos dados.
Fórmula da média amostral:
Aplicando aos números:
Portanto
.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral
. Vou explicar a fórmula e cada termo.
Fórmula da variância amostral (usando correção de Bessel, divisor
):
Aqui
são as observações,
é a média amostral e
é o número de graus de liberdade.
Calculo das diferenças e dos quadrados:
Somando os quadrados:
Agora a variância amostral:
O desvio-padrão amostral é
Passo 4
Escolher a distribuição para construir o intervalo de confiança e justificar.
Justificativa: a distribuição das notas é normal (dado), o tamanho da amostra é pequeno (
) e o desvio-padrão populacional é desconhecido, então devemos usar a distribuição
de Student com
graus de liberdade.
Aqui
. Para um intervalo de confiança de
precisamos do quantil crítico
com
graus de liberdade (o fator multiplicador da cauda superior
). A partir da tabela
ou calculadora:
Passo 5
Calcular o erro padrão da média (standard error, SE).
Fórmula:
Substituindo valores:
Passo 6
Calcular a margem de erro (ME) do intervalo de confiança:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança de
para a média:
.
Cálculo dos extremos:
Interpretação rápida (útil para a prova): isso significa que, com nível de confiança de
, o verdadeiro valor da média da nota de matemática do estado 2 em 2022 está aproximadamente entre
e
, dado o procedimento de amostragem realizado.