Dados (valores de média e desvio padrão) do INEP para as notas de matemática no ENEM 2022 de 2 estados brasileiros foram utilizados para simular amostras das notas dos alunos destes 2 estados (procedimento equivalente a uma amostragem aleatória entre a população de alunos de cada um destes estados). Ressalte-se que a distribuição destas notas é normal.
A amostra do estado 2 da região sudeste apresenta os seguintes valores: 501, 682, 465, 563, 750, 417
Determine o intervalo de confiança de 95% para a média da nota de matemática deste estado 2 em 2022. (3 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o intervalo de confiança de 95\% para a média da nota de matemática do estado 2 em 2022, usando a amostra fornecida.
Dados fornecidos (amostra do estado 2): \;501,\;682,\;465,\;563,\;750,\;417.
Informações relevantes (resumidas):
\begin{aligned} &\text{Tamanho da amostra: } n=6,\\\ &\text{As notas têm distribuição normal (informação dada).}\\\ &\text{O desvio-padrão da população não é informado (devemos usar o desvio amostral).} \end{aligned}êçãçããçããé

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Vou mostrar a fórmula e aplicar aos dados.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
Aplicando aos números:
\bar{x}=\frac{501+682+465+563+750+417}{6}=\frac{3378}{6}=563.
Portanto \bar{x}=563.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Vou explicar a fórmula e cada termo.
Fórmula da variância amostral (usando correção de Bessel, divisor n-1):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Aqui x_i são as observações, \bar{x} é a média amostral e n-1 é o número de graus de liberdade.
Calculo das diferenças e dos quadrados:
\begin{aligned} &501-563=-62\quad\Rightarrow\quad (-62)^2=3844,\\\ &682-563=119\quad\Rightarrow\quad 119^2=14161,\\\ &465-563=-98\quad\Rightarrow\quad (-98)^2=9604,\\\ &563-563=0\quad\Rightarrow\quad 0^2=0,\\\ &750-563=187\quad\Rightarrow\quad 187^2=34969,\\\ &417-563=-146\quad\Rightarrow\quad (-146)^2=21316. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^{2}=3844+14161+9604+0+34969+21316=83894.
Agora a variância amostral:
s^{2}=\frac{83894}{n-1}=\frac{83894}{5}=16778{,}8.
O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{16778{,}8}\approx129{,}55.

Passo 4

Escolher a distribuição para construir o intervalo de confiança e justificar.
Justificativa: a distribuição das notas é normal (dado), o tamanho da amostra é pequeno ( n=6) e o desvio-padrão populacional é desconhecido, então devemos usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
Aqui \text{df}=n-1=5. Para um intervalo de confiança de 95\% precisamos do quantil crítico t_{0{,}975} com 5 graus de liberdade (o fator multiplicador da cauda superior 2{,}5\%). A partir da tabela t ou calculadora:
t_{5,\,0{,}975}\approx2{,}5706.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média (standard error, SE).
Fórmula:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo valores:
\text{SE}=\frac{129{,}55}{\sqrt{6}}\approx\frac{129{,}55}{2{,}44949}\approx52{,}89.

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME) do intervalo de confiança:
\text{ME}=t_{5,\,0{,}975}\times\text{SE}\approx2{,}5706\times52{,}89\approx135{,}95.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média: \bar{x}\pm\text{ME}.
Cálculo dos extremos:
\begin{aligned} \text{Limite inferior} &=563-135{,}95\approx427{,}05,\\\ \text{Limite superior} &=563+135{,}95\approx698{,}95. \end{aligned}
Interpretação rápida (útil para a prova): isso significa que, com nível de confiança de 95\%, o verdadeiro valor da média da nota de matemática do estado 2 em 2022 está aproximadamente entre 427{,}05 e 698{,}95, dado o procedimento de amostragem realizado.

Resposta

\displaystyle (427{,}05,\;698{,}95)

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