Q7: Dados \vec{u}=(1,0,0,3) e \vec{v}=(0,1,5,0), o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} será LD (linearmente dependente) se tomarmos, por exemplo:
(A) \vec{w}=(2,4,20,-3)
(B) \vec{w}=(-2,-1,-5,-6)
(C) \vec{w}=(-3,3,17,-9)
(D) \vec{w}=(4,-4,-15,12)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4,
\vec{u}=(1,0,0,3) e \vec{v}=(0,1,5,0),
e pergunta para qual escolha de \vec{w} o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} será linearmente dependente.
O conteúdo aqui é dependência linear: três vetores são LD se e só se um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Para que \vec{w} esteja no span \{\vec{u},\vec{v}\}, existem escalares a,b tais que
\vec{w} \;=\; a\,\vec{u} \;+\; b\,\vec{v} \;=\;(a,\,b,\,5b,\,3a).
Logo, qualquer \vec{w} LD deve ter a forma (a,b,5b,3a).

Passo 3

Agora testamos cada alternativa comparando com (a,b,5b,3a):
Alternativa (A): (2,4,20,-3) exigiria a=2, b=4, daí 5b=20 ok, mas 3a=6\neq -3. Falha.
Alternativa (B): (-2,-1,-5,-6) sugerindo a=-2, b=-1. Então 5b=-5 e 3a=-6, ambos batem com as componentes dadas. Funciona!
Alternativas (C) e (D) falham na componente 3 ou 4 quando testadas do mesmo modo.

Passo 4

Como apenas a opção (B) permite \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}, é a única que torna os três vetores linearmente dependentes.

Resposta

(B) \vec{w}=(-2,-1,-5,-6)

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