Q8: Seja S um sistema linear com m equações em n variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se m<n, a solução, se existir, será única.
II - Se m=n, S terá solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear S com m equações e n incógnitas, e pede para avaliar quando a solução é única. O conteúdo envolvido é o conceito de posto (ou rank) de uma matriz e o Teorema de Rouché–Capelli, que afirma:
S \text{ é consistente} \iff \text{posto}(A) = \text{posto}([A\mid b]),é
e o espaço de soluções tem dimensão
n - \text{posto}(A)\,.
Para haver solução única, é preciso que o posto seja igual a n (nenhuma variável livre) e que o sistema seja consistente.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se m<n, a solução, se existir, será única.”
Como \text{posto}(A)\le \min(m,n), se m<n então \text{posto}(A)\le m < n. Logo
n - \text{posto}(A) > 0,
isto é, sempre haverá pelo menos uma variável livre quando o sistema for consistente, gerando infinitas soluções. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se m=n, S terá solução única.”
Quando m=n a matriz A é quadrada, mas para ter solução única é preciso \text{posto}(A)=n (equivalente a \det(A)\neq0) e consistência. Se \text{posto}(A)<n, o sistema ou não será consistente ou terá infinitas soluções. Sem a hipótese \det(A)\neq0, não se garante unicidade. Logo a afirmativa II também é falsa.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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